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電圧のデシベル


 実験でよく使われるオペアンプなどの増幅器がどの程度その電圧を増幅できるかを示す利得を示す際にもデシベルが使われる。 この場合は入力値と出力値の比を元に利得が決まる。 入力の電圧を\( V_{in} \)、出力の電圧を\( V_{out} \)とすると、レベル表記としては、 \begin{eqnarray} 10 \log_{10} \left( \frac{V_{out}}{V_{in}} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} となる。しかし、利得\( G \)は通常、電力の比として表される。 電力は中学で習ったように、電圧を\( V \)、電流を\( I \)とすることで、 \begin{eqnarray} W = VI \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となるのである。 これにオームの法則\( V = RI \)を使うことで、 \begin{eqnarray} W = \frac{V^2}{R} \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となる。今ここで、入力と出力で抵抗\( R \)のことを示すインピーダンスが等しい場合、 式(1)は \begin{eqnarray} 10 \log_{10} \left( \frac{V_{out}}{V_{in}} \right)^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となり、 \begin{eqnarray} 20 \log_{10} \left( \frac{V_{out}}{V_{in}} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} となるのである。 これは、「20デシベル違うということは比較している値が1桁違う」という意味である。
 デシベルはよく音の大きさを示す単位として用いられる。 音の大きさは音圧の大きさで示され、音の大きさ(レベル)を\( L_v \)とすると、 \begin{eqnarray} L_v &=& 10 \log_{10} \left( \frac{p}{p_0} \right)^2 &=& 20 \log_{10} \left( \frac{p}{p_0} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} で表される。ここで、\( p_0 \)は基準となる音圧(\( p_0 = 20 \times 10^{-6} Pa\))で人間が聞こえる最小の音である。 \( p \)は観測される音となる。このことからも20デシベル大きいということは10倍大きい音ということができる。

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