トップ > プラズマ物理学 > プラズマ周波数

プラズマ周波数

 電子が運動し、密度が不均一になるとプラズマの電気的中性が破られる。 イオンは重く電子の運動に対してほぼ静止しているため、イオンが電子の変動に対して置き去りになり、これを解消するために電場が発生する。 この電場によって電子は引き戻されるが、慣性によって釣り合いの位置を行き過ぎる。 再び電場が発生し、電子は引き戻される。 この一連の振動をプラズマ振動と呼ぶのであった。 このページではプラズマ振動の周波数であるプラズマ周波数の導出を行なっていこうと思う。 まず簡単のために磁場と熱運動がなく、プラズマの変動が\( x\)方向のみ、電場も\( x \)成分のみであり、 無限に広い空間にプラズマが一様に存在している場合を考える。 つまり、 \begin{eqnarray} \nabla &=& \frac{\bf \hat{x} \partial}{\partial x} \\ {\bf E} &=& E{\bf \hat{x}} \\ \nabla \times {\bf E} &=& 0 \\ {\bf E} &=& - \nabla \phi \end{eqnarray} となる。これは磁場に変動がなく(新しく磁場は生まれない)、プラズマ振動は静電的振動であると言える。 まず初めに、電子の運動方程式と連続の方程式を記述する。 \begin{eqnarray} mn_e \left\{ \frac{\partial {\bf v}_e}{\partial t} + ({\bf v}_e \cdot \nabla){\bf v}_e \right\} &=& - e n_e {\bf E} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ \frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla \cdot (n_e {\bf v}_e) &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} 次にMaxwell方程式を記述する。 Maxwell方程式はPoisson方程式以外、磁場に関連する方程式であるのでここではPoission(ポアソン)方程式のみを考えればよくて、 \begin{eqnarray} \nabla \cdot {\bf E} = \frac{\partial {\bf E}}{\partial x} = \frac{e(n_i - n_e)}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となる。 ここで、電荷密度の項として\( n_i - n_e \)を使った。 これはプラズマの電気的中性からのズレが電荷密度として効いてくるからである。 もっと言うと\( x\)軸上の一点に電子密度が集中するとそこに向かって電場が集中する。 つまり電場の発散は負となる。 (ここで、イオンは電子に対して十分に静止していることに注意する。) 反対に電子密度が現象すると、そこから電場が湧き出しているようになる。 これは電場の発散が正である。 従って、Poisson方程式内の電荷密度の項は\( n_i - n_e \)と書けるのである。

 ここまでで示した式(1)、(2)、(3)は線形化によって解くことができる。 ここで線形化を簡単に説明すると、「背景成分と摂動成分に分け、両者は違いに相互しないものとする」ということである。 密度、電子の速度、電場の背景成分を0の添え字、摂動成分を1の添え字で表すと、 \begin{eqnarray} n_e &=& n_0 + n_1 \\ {\bf v}_e &=& {\bf v}_0 + {\bf v}_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ {\bf E} &=& {\bf E}_0 + {\bf E}_1 \end{eqnarray} となるのである。 これを式(1)の運動方程式に代入すると、 \begin{eqnarray} m(n_0+n_1) \left\{ \frac{\partial {\bf v}_0}{\partial t} + \frac{\partial {\bf v}_1}{\partial t} + ({\bf v}_0 \cdot \nabla){\bf v}_0 + ({\bf v}_0 \cdot \nabla){\bf v}_1 + ({\bf v}_1 \cdot \nabla){\bf v}_0 + ({\bf v}_1 \cdot \nabla){\bf v}_1 \right\} &=& - e (n_0 + n_1) ({\bf E}_0 + {\bf E}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} となる。次に式(2)の連続の式を線形化すると \begin{eqnarray} \frac{\partial n_0}{\partial t} + \frac{\partial n_1}{\partial t} + \nabla \cdot (n_0 {\bf v}_0 + n_0 {\bf v}_1 + n_1 {\bf v}_0 + n_1 {\bf v}_1) &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} を得る。 ここで、背景成分(0の添え字)は振動のない時のプラズマの密度、速度、電場である。 つまり、密度勾配はなく(\( \nabla n_0 = 0\))、プラズマは運動せず(\( {\bf v}_0 = 0 \))、それゆえ電場は存在していない(\( {\bf E}_0 = 0 \))。 また、同様に背景成分の時間変化はないので、 \begin{eqnarray} \frac{\partial n_0}{\partial t} = \frac{\partial {\bf v}_0}{\partial t} = \frac{\partial {\bf E}_0}{\partial t} = 0 \end{eqnarray} である。また、線形化を行なった場合、摂動成分どうしの掛け算である、\( ({\bf v}_1 \cdot \nabla) {\bf v}_1 \)と\( {\bf v}_1 n_1 \)は極めて小さくなるとして0とする。 これを踏まえると、式(5), (6)は以下の様にスッキリとした形になる。 \begin{eqnarray} m \frac{\partial {\bf v}_1}{\partial t} &=& - e{\bf E}_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)\\ \frac{\partial n_1}{\partial t} + n_0 \nabla \cdot {\bf v}_1 &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray}
 次にPoisson方程式を線形化する。 ポアソン方程式の右辺を線形化すると、\( e (n_i - n_0 - n_1) / \epsilon_0 \)となる。 ここで、背景成分はイオンと電子が平衡状態(電気的中性)であるので\( n_i = n_0 \)である。 従って、線形化されたPoisson方程式は \begin{eqnarray} \nabla \cdot {\bf E}_1 = - \frac{ e n_1 }{\epsilon_0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} となるのである。
 次に摂動量は正弦的変動すると仮定すると、 \begin{eqnarray} {\bf v}_1 &=& {\bf v}_1 e^{i(kx - \omega t)} {\bf \hat{x}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \\ n_1 &=& n_1 e^{i(kx - \omega t)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \\ {\bf E}_1 &=& {\bf E}_1 e^{i(kx - \omega t)} {\bf \hat{x}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12) \end{eqnarray} を得るのである。 こうすることで、摂動成分の時間微分\( \partial / \partial t \)は\( -i\omega \)、\( \nabla \cdot \)は\( ik{\bf \hat{x}} \)と置き換えることができる。 つまり、式(7), (8), (9)は \begin{eqnarray} -im\omega v_1 &=& - e E_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \\ - i \omega n_1 &=& - n_0 ikv_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14) \\ ik E_1 &=& - \frac{e n_1}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (15) \end{eqnarray} となる。上記の3つの式から\( n_1 \)と\( E_1 \)を消去すると、 \begin{eqnarray} -i m \omega v_1 = - i\frac{n_0 e^2}{\epsilon_0 \omega} v_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16) \end{eqnarray} を得る。もし、\( v_1 \)が0でないならば以下の式を得る。 \begin{eqnarray} \omega^2 = \frac{n_0 e^2}{\epsilon_0 m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{eqnarray} 従ってプラズマ振動の周波数であるプラズマ周波数は \begin{eqnarray} \omega = \left( \frac{n_0 e^2}{\epsilon_0 m} \right)^{1/2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (18) \end{eqnarray} となる。 つまり、プラズマ中内部の電子が少し変動し電気的中性が破られてイオンの周りを振動すると、 その密度、速度、電場はプラズマ振動によって強度が変動するのである。

広告