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分散関係

 自然現象によって変動を受けた物理量(例えば密度や電場)をフーリエ変換すると単色の波動の重ね合わせで表現できる。 (ここで、単色とはある波数と周波数で表すことができる波動のことである。) このとき得られる周波数に対する波数の関係のことを分散関係と呼ぶ。 つまり、 \begin{eqnarray} \omega = \omega ( k) \end{eqnarray} が分散関係である。 上の式は単に周波数は波数の関数であることを示しているだけである。
もし周波数が \begin{eqnarray} \omega = v k \end{eqnarray} で表されるように波数に対して比例する場合、分散がないという。 これはどういうことかと言うと、 \begin{eqnarray} e^i{(kx - \omega t)} = e^{ik(x - vt)} \end{eqnarray} と変換できると言うことである。 この波動の位相速度は\( v \)となる。 また、群速度も\( v \)となる。 つまり、分散がない場合、波動は波数がどのような値を取っても位相速度\( v \)で伝搬し、その形を崩さないのである。 一方で、周波数が波数に比例しない場合は分散的または分散系と呼ばれ、波数によって位相速度が変化し、波の形は時間変化をするのである。

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