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音波

空気中で音は音速で伝わる。 これは空気分子間の衝突により伝わっていく圧縮波である音波で音が伝わるためである。 この音波の位相速度のことを音速と呼ぶ。 ここではプラズマの音速(イオン音波)を学ぶ前に空気中を伝わる音波について予め学んでおく。
流体はナヴィエストークス(Navier-Stokes)の式に従う。 この式を粘性を無視して記述すると \begin{eqnarray} \rho \left\{ \frac{\partial {\bf v}}{\partial t} + ({\bf v}\cdot \nabla ) {\bf v} \right\} = - \nabla p \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} となる。 右辺は、状態方程式を使って書き換えることができて、 \begin{eqnarray} \rho \left\{ \frac{\partial {\bf v}}{\partial t} + ({\bf v}\cdot \nabla ) {\bf v} \right\} = - \frac{\gamma p}{\rho} \nabla \rho \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となる。ここで、\( \gamma \)は比熱比である。 次に、連続の式は以下のように書ける。 \begin{eqnarray} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot ( \rho {\bf v} ) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} 式(2)と式(3)を \begin{eqnarray} {\bf v} &=& {\bf v}_0 + {\bf v}_1 \\ p &=& p_0 + p_1 \\ \rho &=& \rho_0 + \rho_1 \end{eqnarray} として、線形化すると(線形化について詳しくはプラズマ周波数のページを参照) \begin{eqnarray} \rho \frac{\partial {\bf v}_1}{\partial t} &=& - \frac{\gamma p_0}{\rho_0} \nabla p_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ \frac{\partial \rho_1}{\partial t} + \rho_0 \nabla \cdot {\bf v}_1 &=& 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} ここで、定常状態を考え、\( \partial v_0 / \partial t = \partial \rho_0 / \partial t = 0\)、\( \nabla p_0 = 0\)とした。 また、添字が1で表された摂動項どうしの掛け算は無視した。 もし、速度、圧力、密度の摂動が \begin{eqnarray} v_1 &=& v_1 \exp\left\{ i({\bf k}\cdot {\bf r} - \omega t) \right\} \\ p_1 &=& p_1 \exp\left\{ i({\bf k}\cdot {\bf r} - \omega t) \right\}\\ \rho_1 &=& \rho_1 \exp\left\{ i({\bf k}\cdot {\bf r} - \omega t) \right\} \end{eqnarray} と表すことができるとする。さらに、変動は\( x \)成分しか持たないとして、\( {\bf k} = k {\bf \hat{x}} \)、\( {\bf v} = v {\bf \hat{x}} \)であると仮定すると、 \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} = - i\omega \\ \nabla = \frac{\partial }{\partial x} = ik \end{eqnarray} とすることができる。 これにより、式(4)と式(5)は \begin{eqnarray} - i\omega \rho_0 v_1 &=& - \frac{\gamma p_0}{\rho_0} i k \rho_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \\ - i \omega \rho_1 + \rho_0 i k v_1 &=& 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} と変形できる。この2つの方程式を使って、\( \rho_1 \)を消去すると、 \begin{eqnarray} \omega^2 v_1 = k^2 \frac{\gamma p_0}{\rho_0} v_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} を得る。ここで、\( v_1 \ne 0\)であるとすると、音波の分散関係である \begin{eqnarray} \omega^2 = k^2 \frac{\gamma p_0}{\rho_0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray} を得るのである。ここで、状態方程式\( p_0 = \rho_0 k_B T /M \)を使うことで、音波の位相速度を以下のように書くことができる。 \begin{eqnarray} \frac{\omega}{k} = \left( \frac{\gamma p_0}{\rho_0} \right)^{1/2} = \left( \frac{\gamma k_B T}{M} \right)^{1/2} = cs\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{eqnarray} ここで、\( c_s \)とは中性気体中の音速である。 空気の場合、空気分子の衝突により音が伝わっていくのである。

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