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プラズマ振動の群速度(分散関係)

もしプラズマの運動に熱運動を考慮しない場合、プラズマ振動の周波数であるプラズマ周波数は以下のようになる。 \begin{eqnarray} \omega_p = \left( \frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e} \right)^{1/2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} もし、熱運動を考慮したプラズマ周波数は以下のように表すことができる。 \begin{eqnarray} \omega = \left( \omega_p^2 + \frac{3k_B T_e}{m_e} k^2\right)^{1/2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} では初めにこの2つのプラズマ周波数を見ていこうと思う。 熱速度を考慮せずに導出したプラズマ周波数は波数\( k \)の関数になっていないので、\( d\omega / dk \)で求められる群速度\( v_g \)は0となる。 つまり、熱運動を考慮しない場合、プラズマ振動は伝搬しないのである。
 次に、式(2)で表される熱運動を考慮して求めたブラズマ周波数を見てみる。 式(2)の\( \omega \)は波数\( k \)の関数となっているため群速度は有限の値を持ち、振動は伝搬する。 図1にプラズマ振動の分散関係を示す。

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図1. プラズマ振動の分散関係

式(2)から群速度を求めると以下のようになる。 \begin{eqnarray} \frac{d \omega}{dk} = \frac{3 v_{th}^2}{v_p} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} ここで、\( v_p\)は位相速度で\( \omega / k \)で表される。 \( v_{th} \)は1次元の熱速度で \begin{eqnarray} v_{th} = \sqrt{ \frac{k_B T_e}{m_e} } \end{eqnarray} となる。 右辺、分子の3は1次元しか考えていない場合で、波の進行方向以外とエネルギーのやりとりをしないことを示したものである(ここでは詳しく説明しない)。 ある周波数と波数における群速度、位相速度、熱速度の関係は図1の緑、青、赤の点線で示している。 群速度はある点での分散関係の接線となる。 位相速度はある点と原点を結んだ直線となる。 熱速度は分散関係の漸近線となるのである。 この3つの速度の比較を行う際には図1のようにそれぞれの速度の大きさを比較するとわかりやすい。 大きな波数(小さい波長)ではほぼ熱速度と群速度が等しくなるので、ほぼ熱速度で擾乱が伝わる。 小さい波数(大きな波長)では位相速度が熱速度よりも大きくなるが、群速度は遅いので、ゆっくりと擾乱が伝わるのである。

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