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電子プラズマ波(ラングミュア波)

 プラズマ中の電子集団が運動するとプラズマ振動が発生する。 プラズマ振動の周波数であるプラズマ周波数は以下の様に表される。 \begin{eqnarray} \omega_p = \left( \frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e} \right)^{1/2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} ここで、\( n_e \)は電子の密度、\( m_e \)である。
 式(1)で表されたプラズマ周波数を求める際には熱運動を無視していた。 ここでは、熱運動を考慮したプラズマ振動を考え、プラズマ周波数を求める。 熱運動の項は\( -\nabla p_e \)(圧力勾配)で表され、運動方程式に加えれば良い。 1次元の問題であれば自由度が\( N = 1\)となり、熱運動の項は以下の様に表すことができる。 \begin{eqnarray} \nabla p_e = 3 k_B T_e \nabla n_e \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となる。ここで、\( k_B \)はボルツマン定数である。 この関係式の導出方法が不明であれば、「プラズマ物理学における状態方程式」のページを見て欲しい。 式(2)を電子の運動方程式に代入すると、 \begin{eqnarray} mn_e \left\{ \frac{\partial {\bf v}_e}{\partial t} + ({\bf v}_e \cdot \nabla){\bf v}_e \right\} &=& - e n_e {\bf E} - 3 k_B T_e \nabla n_e \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となる。 \( x\)方向にしかプラズマの変動がないとしてこの式を線形化する。 \begin{eqnarray} m n_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = - en_0 E_1 - 3 k_B T_e \frac{\partial n_1}{\partial x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} ここで、\( n_1 \partial v_1 / \partial t\)、\(n_1 E_1 \)は摂動項どうしの計算であることから無視したことに注意する。 \( E \)、\( v \)、\( n \)が正弦的に振動すると考えると、以下の式を導くことができる。 \begin{eqnarray} -im\omega n_0 v_1 = - e n_0 E_1 - 3k_B T_e ikn_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} 連続の式とマクスウェル方程式のポアソン方程式を同様に線形化すると、 \begin{eqnarray} - i \omega n_1 &=& - n_0 ikv_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \\ ik E_1 &=& - \frac{e n_1}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} を得ることができる。 式(4)から式(7)までの導出方法が不明な場合は「プラズマ周波数」のページを参考にして欲しい。 式(5), (6), (7)を使って\( \omega \)を求めると、 \begin{eqnarray} \omega = \left( \frac{n_0 e^2}{\epsilon_0 m} + \frac{3k_B T_e}{m} k^2\right)^{1/2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} を得るのである。 ここで、\( v_1 \ne 0 \)であることを仮定している。 式(8)の右辺内のカッコ内部の第一項は式(1)で示した熱運動を考慮せずに導出したプラズマ周波数\( \omega_p \)である。 この式が電子プラズマ波の分散関係である。 \begin{eqnarray} v_g = \frac{d\omega}{d k} \end{eqnarray} が有限な値になるのでこのプラズマの擾乱は伝搬することがわかる。

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