プラズマ物理学における状態方程式

プラズマ物理学における圧力と数密度を関連付ける関係式（状態方程式）について説明する。まず、断熱変化の場合、ポアソンの法則から

\begin{eqnarray} pV^{\gamma} = Const \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

を得る。ここで、\( p \)は圧力、\( V \)は体積、\( \gamma = C_p / C_v \)は比熱比である。次に、\( n \)は\( n \)の逆数であることを用いると

\begin{eqnarray} p = C n^{\gamma} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

の関係式を導くことができる。両辺に\( \log \)を取ると

\begin{eqnarray} \log p = \log C + \gamma \log n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}

を得る。式(3)の両辺に\( \nabla \)を取ると

\begin{eqnarray} \nabla \log p = \gamma \nabla \log n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}

を得る。つまり

\begin{eqnarray} \frac{\nabla p}{p} = \gamma \frac{\nabla n}{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray}

で\( p \)と\( n \)の関係式が与えられるのである。自由度をNとすると

\begin{eqnarray} \gamma = \frac{2+N}{N} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray}

である。