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プラズマ物理学における状態方程式

プラズマ物理学における圧力と数密度を関連付ける関係式(状態方程式)について説明する。 まず、断熱変化の場合、ポアソンの法則から \begin{eqnarray} pV^{\gamma} = Const \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} を得る。 ここで、\( p \)は圧力、\( V \)は体積、\( \gamma = C_p / C_v \)は比熱比である。 次に、\( n \)は\( n \)の逆数であることを用いると、 \begin{eqnarray} p = C n^{\gamma} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} の関係式を導くことができる。 両辺に\( \log \)を取ると \begin{eqnarray} \log p = \log C + \gamma \log n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} を得る。式(3)の両辺に\( \nabla \)を取ると \begin{eqnarray} \nabla \log p = \gamma \nabla \log n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} を得る。つまり、 \begin{eqnarray} \frac{\nabla p}{p} = \gamma \frac{\nabla n}{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} で\( p \)と\( n \)の関係式が与えられるのである。 自由度をNとすると、 \begin{eqnarray} \gamma = \frac{2+N}{N} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} である。

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