時間変化する電場中の運動

時間的に変化する電場の中でプラズマがどのような運動をするのかを考える。

今、磁場は一様に\(z\)方向にかけられており、電場は

\begin{eqnarray} {\bf E} = E_0 e^{i\omega t} \hat{{\bf x}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

で表されるような時間変化で\(x\)方向にかけられているとする。（式(1)をテイラー展開すると振動する電場が得られる）プラズマの運動方程式は

\begin{eqnarray} m \frac{d{\bf v}}{dt} = q \left( {\bf E} + {\bf v} \times {\bf B} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

で与えられ、磁場に垂直な\(x\)、\(y\)方向に分けて記述すると

\begin{align} \dot{v}_x &= \frac{qB}{m} v_{y} + \frac{q}{m} \frac{\tilde{E}_x}{B} &(3) \\ \dot{v}_y &= -\frac{qB}{m} v_{x} &(4) \end{align}

となる。 \(\tilde{E}_x\)は時間変化する電場の\(x\)成分を示している。チルダは「わかりやすいように時間変化をする」と言うことを強調するために使っている。さて、式(3)と式(4)を時間微分する。

\begin{align} \ddot{v}_x &= \frac{qB}{m} \dot{v}_y + i \omega \frac{q}{m} \tilde{E}_x &(5) \\ \ddot{v}_y &= - \frac{qB}{m} \dot{v}_x &(6) \end{align}

式(5), (6)に式(3), (4)を代入することで以下を得ることができる。

\begin{align} \ddot{v}_x &= - \omega_c^2 \left( v_x \pm i \frac{\omega}{\omega_c} \frac{\tilde{E}_x}{B} \right) &(7) \\ \ddot{v}_y &= - \omega_c^2 v_y - \omega_c^2 \frac{\tilde{E_x}}{B} &(8) \end{align}

ここで、\( \omega_c \)はプラズマのサイクロトロン周波数で、電場の時間変化の周期と区別するために下付きの文字\( c \)を付けた。（cはサイクロトロン:cyclotronの略）。また、式(7)の前の符号はプラズマの電荷による。ここで、式(7), (8)の第2項を以下のように置く。

\begin{align} \tilde{v}_p &= \pm \frac{i\omega}{\omega_c} \frac{\tilde{E}_x}{B} &(9)\\ \tilde{v}_E &= - \frac{\tilde{E}_x}{B} &(10) \end{align}

これは、式(9)は電場が時間変化することによって生じた項で、式(10)はExBドリフトを示している。これは\(x\)が正の方向に電場が印加されると、\( y\)が負の方向にExBドリフト速度を持つということとも整合的である。

電場と磁場があればExBドリフトは起こるので、式(9)が電場が時間変化することによって新しく加わったドリフトらしいことが想像できる。これらのドリフト速度を使うことで、式(7), (8)は

\begin{align} \ddot{v}_x &= - \omega^2_c \left( v_x - \tilde{v}_p \right) &(11) \\ \ddot{v}_y &= - \omega^2_c \left( v_y - \tilde{v}_E \right) &(12) \end{align}

となり、\(x\)方向、\(y\)方向の速度の2階微分が得られた。

ではこれを別の方法から求めてみようと思う。プラズマは磁場によって円運動（サイクロトロン運動）を行なっている。

ここに、時間的に変化する電場によって、ExBドリフトと式(9)で示されたドリフトが加わると予想する。すると、\(x\)方向、\(y\)方向の速度の式が以下のようになることが予想される。

\begin{align} v_x &= v_{\perp} e^{i\omega_c t} + \tilde{v}_p &(13) \\ v_y &= \pm i v_{\perp} e^{i\omega_c t} + \tilde{v}_E &(14) \end{align}

磁場によって起こるプラズマの円運動（サイクロトロン運動）の式の詳細な導出方法は、一様な磁場中の運動のページを参照して欲しい。

ではこれらの式を2階微分する。すると以下の式が得られる。

\begin{align} \ddot{v}_x &= - \omega_c^2 v_x + (\omega_c^2 - \omega^2) \tilde{v}_p &(15) \\ \ddot{v}_y &= - \omega_c^2 v_y + (\omega_c^2 - \omega^2) \tilde{v}_E &(16) \end{align}

この式と、式(11), (12)を見比べてみると、\( \omega_c \)が\( \omega \)より充分大きければ、式(11), (12)と式(15), (16)がほぼ同じと近似できる。言い換えると、プラズマのサイクロトロン周波数、つまり円運動1回に要する時間と、電場が変化する時間を比べて、電場が変化する時間の方が充分に大きければ、 \(\omega_c >> \omega \)となり、式(11), (12)と式(15), (16)が等しいと近似することができるのである。

つまり、\(\omega_c >> \omega \)の状況では、ExBドリフトと\(v_p\)で表されるドリフトが引き起こるのである。この\(v_p\)のドリフトのことを、分極ドリフトと呼ぶ。

\( i \omega \)は電場を時間で1階微分したことで得られたことを思い出して、式(9)を書き直すと

\begin{eqnarray} v_{p} = \pm \frac{1}{\omega_c B} \frac{d {\bf E}}{dt} \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{eqnarray}

と表される。

では、この分極ドリフトを物理的に見ていこうと思う。

まず、分極ドリフトの向きであるが、今考えている系だと、\( x\)方向の電場方向であるので、分極ドリフトは電場方向に引き起こるのである。これは、電場による力が\(qE\)によって表されることに起因する。

電場と磁場が存在する中にプラズマを置くと、まず初めに電場によって、イオンの場合は電場方向に引っ張られる。ここで、速度\( {\bf v}\)を持つので、磁場によるローレンツ力\( q {\bf v} \times {\bf B}\)が働き円運動を始める。もし、電場が一定の場合はExBドリフトによって電場と磁場に垂直な方向にイオンが進んで行くことになるが、電場が時間と共に強くなる場合は、よりイオンは電場方向に引っ張られるために分極ドリフトを起こすのである。

また、面白いことに、分極ドリフトは電荷によって方向が異なる。これは、時間的に変化する電場中の電子とイオンは異なった方向に移動し、それによって電流が生じるのである。電荷が1であると考える（Z=1）とその電流は

\begin{eqnarray} {\bf j}_p &=& ne(v_{ip} - v_{ep}) \\ &=& \frac{ne}{eB^2} (M+m) \frac{d {\bf E}}{dt} = \frac{\rho}{B^2} \frac{d {\bf E}}{dt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (18) \end{eqnarray}

と表されるのである。さらに\( \omega_c\)に反比例するので、\( \omega_c\)が小さい重たい重たいイオンはより大きな分極ドリフト速度を持つのである。