ベクトル演算の公式（足し算・引き算・内積・外積）

カテゴリー：物理数学

ベクトルの四則演算とスカラー３重積、ベクトル３重積、４重積、ヤコビの恒等式などのベクトル計算の公式を紹介する。

証明は成分を計算すれば簡単にできる。

足し算
　　　\( {\bf A} + {\bf B} = {\bf B} + {\bf A} \)

引き算
　　　\( {\bf A} - {\bf B} = - {\bf B} + {\bf A} \)

内積
　　　\( {\bf A} \cdot {\bf B} = | {\bf A} | | {\bf B} | \cos \theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z \)
　　　\( {\bf A} \cdot {\bf B} = {\bf B} \cdot {\bf A} \)
　　　\( {\bf A} \cdot ( {\bf B} + {\bf C} ) = {\bf A}\cdot {\bf B} + {\bf A}\cdot {\bf C} \)
　　　\( a({\bf A} \cdot {\bf B} ) = (a {\bf A} ) \cdot {\bf B} = {\bf A}\cdot (a {\bf B}) \)　
　　　\( a( {\bf A} \cdot {\bf B} ) = (a {\bf A} ) \cdot {\bf B} = {\bf A}\cdot (a {\bf B}) \)　

外積
　　　\( {\bf A} \times {\bf B} = (A_yB_z - A_zB_y){\bf i} + (A_zB_x - A_xB_z){\bf j} + (A_xB_y - A_yB_x){\bf k}　\)
　　　\( {\bf A} \times ( {\bf B}+{\bf C} ) = {\bf A} \times {\bf B} + {\bf A} \times {\bf C}　\)
　　　\( {\bf A} \times {\bf A} = {\bf B} \times {\bf B} =0　\)

スカラー３重積
　　　\( {\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C} ) = {\bf C} \cdot ({\bf A} \times {\bf B} ) = {\bf B} \cdot ({\bf C} \times {\bf A} )　\)

ベクトル３重積
　　　\( {\bf A} \times ({\bf B} \times {\bf C} ) = ({\bf A} \cdot {\bf C}) {\bf B} - ({\bf A} \cdot {\bf B}) {\bf C} 　\)
　　　\( ({\bf A} \times {\bf B}) \times {\bf C} = ({\bf A} \cdot {\bf C}) {\bf B} - ({\bf B} \cdot {\bf C}) {\bf A} 　\)

４重積
　　　\( ({\bf A} \times {\bf B}) \cdot ({\bf C} \times {\bf D}) = \{({\bf A}\times{\bf B})\times{\bf C}\} \cdot {\bf D} = {\bf A}\cdot \{{\bf B}\times({\bf C}\times {\bf D}) \}　\)
　　　　　　　　　　　\( = ({\bf A}\cdot{\bf C})({\bf B}\cdot{\bf D}) - ({\bf A}\cdot{\bf D})({\bf B}\cdot{\bf C}) \)
　　　 \( ({\bf A} \times {\bf B}) \times ({\bf C} \times {\bf D}) = \{({\bf A}\times{\bf B})\cdot{\bf D}\} {\bf C} - \{({\bf A}\times{\bf B})\cdot{\bf C}\} {\bf D}　\)
　　　　　　　　　　　\( = \{ {\bf A}\cdot({\bf C}\times{\bf D}) \}{\bf B} - \{ {\bf B}\cdot({\bf C}\times{\bf D}) \}{\bf A} \)

ヤコビの恒等式
　　　\( {\bf A} \times ({\bf B}\times{\bf C}) + {\bf B} \times ({\bf C}\times{\bf A}) + {\bf C} \times ({\bf A}\times{\bf B}) = 0 \)