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ベクトルの掛け算 内積・外積

 掛け算というとあるものを何倍にするか、であった。 しかしベクトルは大きさの他に、”向き”を持っている。 このページでは、”向き”を持つベクトル同士の掛け算について説明していこうと思う。 大きさだけを持つ、スカラーと”向き”と大きさを持つベクトルの掛け算については、「ベクトルの掛け算 スカラーとベクトル」のページを参考にして欲しい。
 ベクトルとベクトルの掛け算は2種類ある。 それぞれ、内積外積と呼ばれ異なった性質を持つ。 内積と外積の詳しい説明は以下に示しておく。また、最後に内積と外積の違いについて少し述べておく。

内積(スカラー積)

ベクトルの内積は掛け合わされる2つのベクトルの大きさと、互いのベクトルの成す角\( \theta \)のコサインを掛け合わせた値である。 \begin{eqnarray} {\bf A} \cdot {\bf B} = |{\bf A}||{\bf B}| \cos \theta \end{eqnarray} 内積の場合は掛け算の記号に”・”を使うことが決まりである。成分で表すと以下のようになる。 \begin{eqnarray} {\bf A} \cdot {\bf B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z + B_z \end{eqnarray} では、この内積は何を意味するのか?それは仕事である。 わかりやすい様に図1の様な、物質を水平から\( \theta \)だけ、上方向に傾けて力\( {\bf F} \)で距離\( d \)だけ引っ張った場合を考える。 この物質がされる仕事\( W \)は \begin{eqnarray} W = {\bf F} \cdot {\bf d} = |{\bf F}||{\bf d}| \cos \theta \end{eqnarray} となる。ここで、\(\cos\)が掛かっていることからもわかる様に、互いのベクトルの成す角が90°である場合の内積は必ず0になる。 これはベクトルの直交条件と言う。ベクトルの内積はスカラー量となるため、スカラー積とも呼ばれる。 内積の基本的性質(交換則、分配則など)を記述しておく。 \begin{eqnarray} {\bf A} \cdot {\bf B} &=& {\bf B} \cdot {\bf A}\\ {\bf A} \cdot ( {\bf B} + {\bf C} ) &=& {\bf A} \cdot {\bf B} + {\bf A} \cdot {\bf C} \\ a ({\bf A} \cdot {\bf B} ) &=& (a {\bf A} ) \cdot {\bf B} = {\bf A} \cdot (a {\bf B} ) \end{eqnarray}

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図1. 仕事




外積(ベクトル積)

\( {\bf A} \)ベクトルと\( {\bf B} \)ベクトルの外積\( {\bf C} \)は以下のように定義されている。 \begin{eqnarray} {\bf C} = {\bf A} \times {\bf B} = | {\bf A} | | {\bf B} | \sin \theta {\bf \hat{C}} \end{eqnarray} \( {\bf \hat{C} } \)は\( {\bf C} \)方向の単位ベクトルである。 つまり、ベクトルの外積の場合は内積の場合とは異なり、ベクトルとして得られる。 そのため、外積のことをベクトル積とも言う。 \( {\bf C} \)の大きさは図2に示す、ベクトル\( {\bf A} \)とベクトル\( {\bf B} \)で作る平行四辺形の面積と一致する。 \( {\bf C} \)の向きはベクトル\( {\bf A} \)とベクトル\( {\bf B} \)が作る平面(この平行四辺形の面と同じ)に垂直な向きになる。 垂直な向きは2つ存在するが、右ねじの法則(右手系)に従った向きがベクトル\( {\bf C} \)の向きとなる(図2参照)。 もっと詳しく述べると、ベクトル\( {\bf A} \)の方向からベクトル\( {\bf B} \)の方向にネジを締めるドライバーを捻って進む方向がベクトル\( {\bf C} \)の方向となる。 物理学では主にトルクやローレンツ力を表す場合に用いられる。

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図2 ベクトルの外積


内積はスカラー量となるので、それぞれのベクトルが計算式上では順不動(交換則が成り立つ)であったが、外積の場合は ベクトルで表され、その向きは右ねじの法則に従うので、 \begin{eqnarray} {\bf A} \times {\bf B} \ne {\bf B} \times {\bf A} \end{eqnarray} であり、勝手にベクトルを入れ替えてはいけない。以下にベクトルの外積の基本的な法則を記述しておく。 \begin{eqnarray} {\bf A} \times {\bf B} &=& - {\bf B} \times {\bf A}\\ {\bf A} \times ( {\bf B} + {\bf C} ) &=& {\bf A} \times {\bf B} + {\bf A} \times {\bf C} \\ (a{\bf A}) \times {\bf B} &=& {\bf A} \times (a {\bf B} ) \end{eqnarray}

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