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内積と外積の違い

 よく内積と外積の違いについて問われることが多い。 なかなか説明に困るのだが、内積は \begin{equation} {\bf A} \cdot {\bf B} = |{\bf A}||{\bf B}| \cos \theta \end{equation} と表される。 これを言葉で表すと「ベクトルAをベクトルBに投影して|B|倍した大きさ」である。 つまり、垂直の場合はベクトルBに全く投影されないので、内積は0となる。 さらに内積で得られるのは「大きさ」なので、計算結果はスカラー量として得られるのである。
 一方、外積は、 \begin{equation} {\bf C} = {\bf A} \times {\bf B} = | {\bf A} | | {\bf B} | \sin \theta {\bf \hat{C}} \end{equation} と表され、ベクトルAとベクトルBが作る平面に直交するベクトルCによって表される。 内積のように「投影」などとわかりやすい言葉を使っては説明できないのだけれど、外積を計算するとベクトル量が得られる。 つまり、内積と外積の違いの大きな違いの1つとしてその解がスカラーになるか、ベクトルになるかということが言えるのである。
 ここまで説明してもピンとこない場合も多いと思うが、内積と外積は物理の現象を数式化するときに非常に便利となる。 例えば、上に示したように、テーブルに置いた物体を引いて動かす時、テーブル平行に力を加えれば最も効率的に物を動かすことができる(\( \cos \theta = 1\))。 しかし、テーブルの表面と角度を持って引いてしまうとその分、動かす効率は小さくなる。これを表す場合に内積は便利である。
 外積が便利に働く場合で最も良い例はローレンツ力だろう。 高校では、ローレンツ力は \begin{eqnarray} |{\bf F}| = q |{\bf v}| |{\bf B}| \sin \theta \end{eqnarray} と習ったと思う。ここで、\( F \)は力、\( q \)は電荷量、\( v \)は電荷の速度、\( B \)は磁場である。 そして、\( \theta \)は この時、\( F \)は速度\( v\)と磁場\( B \)に垂直に働くという性質がある。 これをベクトルを使って示すと、 \begin{eqnarray} {\bf F} = q {\bf v} \times {\bf B} \end{eqnarray} となんともスマートに表されるのである。
 物理には、「沿う力」や「垂直に働く力」というものが山ほどある。 これらを数式がスマートに表す時に内積や外積が非常に役立つのである。

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