スカラー三重積

カテゴリー：物理数学

実際の物理等で問題を解く場合、３つ以上のベクトルの積を求める場合がある。

\begin{eqnarray} {\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C} )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

で表されるベクトルの計算式は、それぞれ以下のようにベクトルを循環的に入れ替えても等しくなる。

\begin{eqnarray} {\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C} ) = {\bf C} \cdot ({\bf A} \times {\bf B} ) = {\bf B} \cdot ({\bf C} \times {\bf A} )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

これはスカラー三重積と呼ばれる。

このページではスカラー三重積について証明していこうと思う。

ベクトル\( {\bf A} \)とベクトル\( {\bf B} \)の外積はベクトルになるので、成分を持つ。

ベクトル\( {\bf A} \)とベクトル\( {\bf B} \)の外積は行列式で

\begin{eqnarray} {\bf A} \times {\bf B} = \left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{array} \right| \end{eqnarray}

と書かれ、\( {\bf A} \times {\bf B} \)の\( (x, y, z) \)成分は

\begin{eqnarray} (A_yB_z - A_zB_y,\ A_zB_x - A_xB_z,\ A_xB_y - A_yB_x) \end{eqnarray}

と記述できる。

すると、\( {\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C}) \)は以下のようになる。

\begin{eqnarray} {\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C} ) &=& A_x (B_yC_z - B_zC_y) + A_y(B_zC_x - B_xC_z) + A_z (B_xC_y - B_yC_x) \\ &=& A_x B_y C_z - A_xB_zC_y + A_yB_zC_x - A_yB_xC_z + A_zB_xC_y - A_zB_yC_x \end{eqnarray}

では、ベクトル\( {\bf A}, {\bf B}, {\bf C} \) を循環的に変えてみる。

すると

\begin{eqnarray} {\bf C} \cdot ({\bf A} \times {\bf B} ) &=& C_x (A_yB_z - A_zB_y) + C_y(A_zB_x - A_xB_z) + C_z (A_xB_y - A_yB_x) \\ &=& C_x A_y B_z - C_xA_zB_y + C_yA_zB_x - C_yA_xB_z + C_zA_xB_y - C_zA_yB_x &=& {\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C} ) \end{eqnarray}

であることに気づく、同様に\( {\bf B} \cdot ({\bf C} \times {\bf A} ) \)の場合も同様である。

つまり、

\begin{eqnarray} {\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C} ) = {\bf C} \cdot ({\bf A} \times {\bf B} ) = {\bf B} \cdot ({\bf C} \times {\bf A} ) \end{eqnarray}

であり、スカラー三重積は循環的にベクトルを入れ替えても等しくなるのである。

外積に対して内積を実行するスカラー三重積に対して、

\begin{eqnarray} {\bf A} \times ( {\bf B} \times {\bf C} ) = ({\bf C}\cdot {\bf A}){\bf B} - ({\bf A}\cdot {\bf B}){\bf B} \end{eqnarray}

と表される3つのベクトルの掛け算のことをベクトル三重積と呼ぶ。

これについてはベクトル三重積のページで詳しく説明する。