3次元極座標（球座標）におけるベクトル演算子

カテゴリー：物理数学

ベクトル演算子の勾配（gradient）、発散（divergence）、回転（rotation）を3次元極座標で実行する際には、直交座標の場合から変換を行う必要がある。

はっきり言って、この導出をテストの度にやっていたら時間が足らないので、覚えてしまってもいいかもしれない。

\begin{align} \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial r}{\bf e}_r +\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} {\bf e}_{\theta} +\frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \phi}{\bf e}_{\phi} &(1) \\ \nabla \cdot {\bf A} &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 A_r \right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta A_{\theta} \right) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} A_{\phi} &(2)\\ \nabla \times {\bf A} &= \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left( r \sin \theta A_{\phi} \right) - \frac{\partial}{\partial \phi} \left( r A_{\theta} \right) \right] {\bf e}_r \\ &\ \ \ \ \ \ \ + \frac{1}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \phi}A_r - \frac{\partial}{\partial r}\left( r\sin\theta A_{\phi} \right) \right] {\bf e}_{\theta}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial}\left( r A_{\theta} \right) - \frac{\partial}{\partial \theta} A_r \right] {\bf e}_{\phi} &(3) \end{align}

興味がある人のために、下に導出方法を示しておく。

直交座標系の勾配、発散、回転は

\begin{align} \nabla f &= \left( {\bf e}_x\frac{\partial}{\partial x} + {\bf e}_y\frac{\partial}{\partial y} + {\bf e}_z\frac{\partial}{\partial z} \right)f \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}{\bf e}_x + \frac{\partial f}{\partial y}{\bf e}_y + \frac{\partial f}{\partial z}{\bf e}_z &(4) \\ \nabla \cdot {\bf A} &= \left( {\bf e}_x\frac{\partial}{\partial x} + {\bf e}_y\frac{\partial}{\partial y} + {\bf e}_z\frac{\partial}{\partial z} \right)\cdot \left( A_x{\bf e}_x + A_y{\bf e}_y + A_z{\bf e}_z \right) \\ &= \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} &(5) \\ \nabla \times {\bf A} &= \left( {\bf e}_x\frac{\partial}{\partial x} + {\bf e}_y\frac{\partial}{\partial y} + {\bf e}_z\frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left( A_x{\bf e}_x + A_y{\bf e}_y + A_z{\bf e}_z \right) \\ &= \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) {\bf e}_x + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) {\bf e}_y + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) {\bf e}_z &(6) \end{align}

と表される。

これを、\( \frac{\partial}{\partial r},\ \frac{\partial}{\partial \theta},\ \frac{\partial}{\partial \phi},\ \ {\bf e}_r,\ {\bf e}_{\theta},\ {\bf e}_\phi \)で表される系に変換する必要がある。

この時、図1の場合を考えている。

図1 3次元極座標と各方向の単位ベクトル

3次元極座標と直交座標との関係は、

\begin{align} x &= r \sin \theta \cos \phi &(7) \\ y &= r \sin \theta \sin \phi &(8) \\ z &= r \cos \theta &(9) \end{align}

である。

まず始めに、直交座標系の\( x,\ y、z\)の偏微分を3次元極座標系の\( r,\ \theta,\ \phi \)の偏微分に変換する。

直交座標系と3次元極座標との偏微分の関係式を以下に示す。

\begin{align} \frac{\partial }{\partial x} &= \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} &(10) \\ \\ \frac{\partial }{\partial y} &= \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y} &(11) \\ \\ \frac{\partial }{\partial z} &= \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial z} + \frac{\partial }{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial z} + \frac{\partial }{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial z} &(12) \end{align}

また、式(7), (8), (9)から以下の関係が導くことができる。

\begin{align} r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} &(13) \\ \phi &= \tan^{-1} \frac{y}{x} &(14) \\ \theta &= \tan^{-1} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} &(15) \end{align}

このことから、\(x,\ y\)の偏微分は以下のように表すことができる。

\begin{align} \frac{\partial \theta}{\partial x} &= \frac{1}{\tan\theta\sec^2\theta}\frac{x}{z^2} = \frac{1}{r}\cos\theta \cos\phi &(16)\\ \frac{\partial \theta}{\partial y} &= \frac{1}{\tan\theta\sec^2\theta}\frac{y}{z^2} = \frac{1}{r}\cos\theta \sin\phi &(17)\\ \frac{\partial \theta}{\partial z} &= - \frac{1}{\tan\theta\sec^2\theta} \frac{x^2 + y^2}{z^3} = - \frac{1}{r}\sin \theta &(18)\\ \frac{\partial \theta}{\partial x} &= \frac{1}{\tan\theta\sec^2\theta}\frac{x}{z^2} = \frac{1}{r}\cos\theta \cos\phi &(19)\\ \frac{\partial \theta}{\partial y} &= \frac{1}{\tan\theta\sec^2\theta}\frac{y}{z^2} = \frac{1}{r}\cos\theta \sin\phi &(20)\\ \frac{\partial \theta}{\partial z} &= - \frac{1}{\tan\theta\sec^2\theta} \frac{x^2 + y^2}{z^3} = - \frac{1}{r}\sin \theta &(21)\\ \frac{\partial \phi}{\partial x} &= - \frac{1}{\sec^2\phi}\frac{y}{x^2} = \frac{1}{r}\frac{\sin\phi}{\sin\theta} &(22)\\ \frac{\partial \phi}{\partial y} &= \frac{1}{\sec^2\phi}\frac{1}{x} = - \frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta} &(23)\\ \frac{\partial \phi}{\partial z} &= 0 \end{align}

この関係式の導出は、ニュートンの運動方程式の座標変換を参照にして欲しい。

式(16)から(23)を式(10), (11), (12)に代入することで、以下の関係式を得る。

\begin{align} \frac{\partial }{\partial x} &= \sin\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta\cos\phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin\phi}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} &(24) \\ \frac{\partial }{\partial y} &= \sin\theta\sin\phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta\sin\phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\cos\phi}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} &(25) \\ \frac{\partial }{\partial z} &= \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} &(26) \end{align}

これにより、\(\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z} \)を\( \frac{\partial}{\partial r},\ \frac{\partial}{\partial \theta},\ \frac{\partial}{\partial \phi} \)に変換する関係式を得ることができた。

次に、単位ベクトルの変換を行うことで、3次元極座標でのナブラを求めることができる。

上で示したように、\( z \)軸方向は直交座標のままであるので、変換の必要はない。

極座標の位置ベクトル\( {\bf r} \)は、\(x,\ y,\ z\)を用いて、

\begin{eqnarray} {\bf r} = r \sin \theta \cos \phi {\bf e}_x + r \sin \theta \sin \phi {\bf e}_y + r \cos \theta {\bf e}_z \ \ \ \ \ \ \ \ (27) \end{eqnarray}

で表される。

この関係式から\( r \)方向、\( \theta \)方向、\( \phi \)方向の単位ベクトル\( {\bf e}_r,\ {\bf e}_{\theta},\ {\bf e}_{\phi} \)を求める。

単位ベクトル\( {\bf e}_r,\ {\bf e}_{\theta},\ {\bf e}_{\phi} \)は、以下のようなる。

\begin{align} {\bf e}_r &= \frac{\frac{\partial {\bf r}}{\partial r}}{\left| \frac{\partial {\bf r}}{\partial r} \right|} &(28) \\ \\ {\bf e}_{\theta} &= \frac{\frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta}}{\left| \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta} \right|} &(29) \\ \\ {\bf e}_{\phi} &= \frac{\frac{\partial {\bf r}}{\partial \phi}}{\left| \frac{\partial {\bf r}}{\partial \phi} \right|} &(30) \end{align}

ここで、\( \left|\frac{\partial {\bf r}}{\partial r} \right|\)、\( \left|\frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta} \right|\)、\( \left|\frac{\partial {\bf r}}{\partial \phi} \right|\)はベクトルの大きさである。

この関係式から直交座標の単位ベクトルと3次元極座標の単位ベクトルの関係式を以下のように得るのである。

\begin{align} {\bf e}_r &= \sin\theta\cos\phi{\bf e}_x + \sin\theta\sin\phi{\bf e}_y + \cos\theta{\bf e}_z &(31) \\ {\bf e}_{\theta} &= \cos\theta\cos\phi{\bf e}_x + \cos\theta\sin\phi{\bf e}_y - \sin\theta{\bf e}_z &(32) \\ {\bf e}_{\phi} &= -\sin\phi{\bf e}_x + \cos\phi{\bf e}_y &(33) \end{align}

この式(31), (32), (33)を連立方程式として、\( {\bf e}_x,\ {\bf e}_y,\ {\bf e}_z \)について解くことで以下の関係式を導くことができる。

\begin{align} {\bf e}_x &= \sin\theta\cos\phi{\bf e}_r + \cos\theta\cos\phi{\bf e}_{\theta} - \sin\phi{\bf e}_{\phi} &(34) \\ {\bf e}_y &= \sin\theta\cos\phi{\bf e}_r + \cos\theta\sin\phi{\bf e}_{\theta} - \sin\theta{\bf e}_{\phi} &(35) \\ {\bf e}_z &= \cos\theta{\bf e}_r - \sin\theta{\bf e}_{\theta} &(36) \end{align}

この関係式をナブラ

\begin{eqnarray} \nabla = \left( {\bf e}_x \frac{\partial}{\partial x} + {\bf e}_y\frac{\partial}{\partial y} + {\bf e}_z \frac{\partial}{\partial z} \right)\ \ \ \ \ \ (37) \end{eqnarray}

に式(24), (25), (26)と式(34), (35), (36)を代入すると、

\begin{eqnarray} \nabla = \left( {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + {\bf e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (38) \end{eqnarray}

を得る。

これで、ナブラを求めることができた。

勾配（gradient）

このナブラから勾配は、

\begin{align} \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial r}{\bf e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}{\bf e}_{\theta}\ + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}{\bf e}_{\phi} &(39) \end{align}

と求めることができる。

発散（divergence）

発散を求める場合はもう少し計算を進める必要がある。

式(29)を使って、円柱座標の発散は

\begin{align} \nabla \cdot {\bf A} &= \left( {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + {\bf e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \right) \cdot \left( A_r {\bf e}_r + A_{\theta} {\bf e}_{\theta} + A_z {\bf e}_z \right) &(40) \end{align}

と表される。

この時、注意しなければならないことがある。

右辺1つ目の括弧内の単位ベクトルに偏微分を実行する必要はない。

これはナブラに方向を与える役目のみであるからである。

しかし、右辺2つ目の括弧内の単位ベクトルに偏微分は実行される。

これは、ベクトル\( {\bf A} \)の成分であるからである。

よって、単位ベクトルの微分が、

\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial r} {\bf e}_r &=& 0 \\ \frac{\partial}{\partial \theta} {\bf e}_r &=& {\bf e}_{\theta} \\ \frac{\partial}{\partial \phi} {\bf e}_r &=& \sin \theta {\bf e}_{\phi} \\ \frac{\partial}{\partial r} {\bf e}_{\theta} &=& 0 \\ \frac{\partial}{\partial \theta} {\bf e}_{\theta} &=& - {\bf e}_r \\ \frac{\partial}{\partial z} {\bf e}_{\theta} &=& \cos\theta{\bf e}_{\phi} \\ \frac{\partial}{\partial r} {\bf e}_{\phi} &=& 0 \\ \frac{\partial}{\partial \theta} {\bf e}_{\phi} &=& 0 \\ \frac{\partial}{\partial z} {\bf e}_{\phi} &=& -\sin \theta {\bf e}_r - \cos\theta{\bf e}_{\theta} \\ \end{eqnarray}

と表されることに注意して、式(40)を展開する。

\begin{eqnarray} \nabla \cdot {\bf A} &=& \left( {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + {\bf e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \right) \cdot \left( A_r {\bf e}_r + A_{\theta} {\bf e}_{\theta} + A_z {\bf e}_z \right) \\ &=& \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{2 A_r}{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial A_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\cos\theta}{r \sin\theta} A_{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi}\ \ \ \ \ \ \ (41) \end{eqnarray}

（単位ベクトルの2乗は1になる）式(41)をまとめることで、

\begin{align} \nabla \cdot {\bf A} &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 A_r \right) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta A_{\theta} \right) + \frac{1}{r\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} A_{\phi} &(42) \end{align}

を得ることができるのである。

回転（rotation）

では最後に回転を求めて行く。

苦労して求めてたナブラ式(32)を使って、回転を表すと以下のようになる。

\begin{eqnarray} \nabla \times {\bf A} &=& \left( {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + {\bf e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \right) \times \left( A_r {\bf e}_r + A_{\theta} {\bf e}_{\theta} + A_z {\bf e}_z\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (43) \end{eqnarray}

回転の場合も同様に右辺の左側の単位ベクトルを微分する必要はないが、右辺の右側の括弧内の単位ベクトルは微分する必要がある。

これに注意して、式(43)を展開する。

\begin{align} \left( {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} + {\bf e}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + {\bf e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \right) &\times \left( A_r {\bf e}_r + A_{\theta} {\bf e}_{\theta} + A_z {\bf e}_z\right) \\ &= {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} \times \left( A_r {\bf e}_r \right) + {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} \times \left( A_{\theta} {\bf e}_{\theta} \right) + {\bf e}_r \frac{\partial}{\partial r} \times \left( A_{\phi} {\bf e}_{\phi} \right) \\ &\ \ \ \ \ \ +\frac{1}{r} \left[ {\bf e}_{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \times \left( A_r {\bf e}_r \right) + {\bf e}_{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \times \left( A_{\theta} {\bf e}_{\theta} \right) + {\bf e}_{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \times \left( A_{\phi} {\bf e}_{\phi} \right) \right]\\ &\ \ \ \ \ \ +\frac{1}{r \sin \theta} \left[ {\bf e}_{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \times \left( A_r {\bf e}_r \right) + {\bf e}_{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \times \left( A_{\theta} {\bf e}_{\theta} \right) + {\bf e}_{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \times \left( A_{\phi} {\bf e}_{\phi} \right) \right]\ \ \ \ \ \ \ (44) \end{align}

となる。

展開だけでも一苦労であるが、あと一息で計算は終わるので頑張る。

図1に示したように、単位ベクトルは違いに直交している。

外積を取るとき、同じ方向の単位ベクトルの外積は0になり、その他の単位ベクトルの外積は右ねじの法則により、

\begin{align} {\bf e}_r \times {\bf e}_{\theta} &= {\bf e}_\phi &(45) \\ {\bf e}_{\theta} \times {\bf e}_{\phi} &= -{\bf e}_r &(46) \\ {\bf e}_{\phi} \times {\bf e}_r &= {\bf e}_{\theta} &(47) \end{align}

となることと単位ベクトルの微分の関係を利用して式、(44)を書き直すと、

\begin{eqnarray} \nabla \times {\bf A} &=& \left( \frac{1}{r}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial \theta} + \frac{A_{\phi}\cos\theta}{r\sin\theta} - \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \phi}\right) {\bf e}_r + \left( \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{\partial A_{\phi}}{\partial r} - \frac{A_{\phi}}{r} \right){\bf e}_{\theta} + \left( \frac{\partial A_{\theta}}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \theta} + \frac{A_{\theta}}{r} \right){\bf e}_{\phi} \\ &=& \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta}\left( r \sin \theta A_{\phi} \right) - \frac{\partial}{\partial \phi} \left( r A_{\theta} \right) \right] {\bf e}_r \\ & &\ \ \ \ \ \ \ + \frac{1}{r\sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \phi}A_r - \frac{\partial}{\partial r}\left( r\sin\theta A_{\phi} \right) \right] {\bf e}_{\theta}\\ & &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial}\left( r A_{\theta} \right) - \frac{\partial}{\partial \theta} A_r \right] {\bf e}_{\phi}\ \ \ \ \ \ \ \ (48) \end{eqnarray}

となり、3次元極座標での回転を求めることができる。