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単位ベクトルとベクトルの成分


 大きさが1のベクトルを単位ベクトルと言う。大きさ0でない任意のベクトル\( {\bf A} \)があるとすると、\( {\bf A} \)の単位ベクトルは \( {\bf A}/ | {\bf A} | \)で表すことができる。多くの場合は直交座標の\( x, y, z \)方向それぞれの単位ベクトル\( {\bf i}, {\bf j}, {\bf k} \) を考える(図3-8)。

“fig08.png”
図3-8 直交単位ベクトル


単位ベクトルはベクトルの成分を表す時に便利である。例えば、\( x \)軸方向に速度\( v_x \)で進んでいる物質の速度を、 直交座標のベクトルで表すと \begin{equation} {\bf v} = v_x {\bf i} \end{equation} で表すことができる。\( y, z \)軸にも速度を持っているなら \begin{equation} {\bf v} = v_x {\bf i} + v_y {\bf j} + v_z {\bf k} \end{equation} となる。ここで、\( v_x, v_y, v_z \)はベクトル\( {\bf v} \)の\( x, y, z \)成分(ベクトルの成分)と呼ぶ。 ベクトルを成分で表すことは、ベクトルの特性を表すのに表示便利である。 例えば、ベクトル\( {\bf A} \)は \begin{equation} {\bf A} = A_x {\bf i} + A_y {\bf j} + A_z {\bf k} \end{equation} と表すことができ(すでに\( {\bf v} \)で示した)、ベクトル\( {\bf A} \)の大きさは三平方の定理より、以下のように表すことができる。 \begin{equation} |{\bf A}| = \sqrt{ A^2_x + A^2_y + A^2_z } \end{equation} 足し算、引き算、掛け算のベクトル成分は以下のように表すことができる。 \begin{eqnarray} {\bf A} + {\bf B} &=& (A_x+B_x,\ A_y+B_y,\ A_z+B_z) \\ {\bf A} - {\bf B} &=& (A_x-B_x,\ A_y-B_y,\ A_z-B_z) \\ a{\bf A} &=& (aA_x,\ aA_y,\ aA_z) \end{eqnarray} この成分は、直交座標のみならず、極座標、円柱座標でも同様にそれぞれの成分で表すことができる。

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