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ベクトルの足し算・引き算


 これまで習ってきた四則演算(足し算・引き算・掛け算・割り算)の場合は、大きさを足し合わせたり、掛け合わせればよかった。 ベクトルの場合は、”向き”という新しい特徴が加えられるため、実はこれまで習ってきように四則演算をすることができない。 つまり、これまでのように”大きさ”だけでなく、”大きさ”と”向き”を同時に足し合わせたり、掛け合わせたりしなくてはならないのである。 ここでは、ベクトルとベクトルの足し算と引き算について説明する。

ベクトルの足し算

 ベクトル\( {\bf A} \)とベクトル\( {\bf B} \)を足し合わせて得られるベクトル\( {\bf C} \)について考える。

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図4. ベクトルの足し算


 \( {\bf A} \)と\( {\bf B} \)の足し算は図4に示すように\( {\bf A} \)と\( {\bf B} \)で作る平行四辺形の 対角線の\( {\bf C} \)で表される。 \begin{equation} {\bf A} + {\bf B} = {\bf C} \end{equation} もっと具体的に言うと、\( {\bf A} \)の終点と\( {\bf B} \)の始点を合わせて \( {\bf A} \)の始点から\( {\bf B} \)の終点までが\( {\bf C} \)である。 この時、\( {\bf A} \)の成分を\( (x_1,\ y_1) \)、\( {\bf B} \)の成分を\( (x_2,\ y_2) \)とすると、\( {\bf C} \)の成分は、\( (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2) \)で表される。 もちろん\( {\bf C} \)の大きさは、 \begin{eqnarray} | {\bf C} | = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2} \end{eqnarray} で表される。


ベクトルの引き算

 \( {\bf A} \)と\( {\bf B} \)の差\( {\bf C} \)は \begin{equation} {\bf A} - {\bf B} = {\bf C} \end{equation} ではあるが、\( {\bf B} \)を反転させて\( -{\bf B} \)とすることで、足し算に変換できる(図5)。 \begin{equation} {\bf A} + (- {\bf B}) = {\bf C} \end{equation}

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図5 ベクトルの引き算


または、ベクトルの始点同士を合わせて、

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図6 ベクトルの引き算②


として、図のようにベクトルを引けば得られる。 同様にして、\( {\bf A} \)の成分を\( (x_1,\ y_1) \)、\( {\bf B} \)の成分を\( (x_2,\ y_2) \)とすると、\( {\bf C} \)の成分は、\( (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2) \)で表され、その大きさは、 \begin{eqnarray} | {\bf C} | = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \end{eqnarray} である。
 以上をまとめると、足し算の場合は、それぞのベクトルの終点と始点を合わせ、引き算の場合は、始点どうしを合わせるか、引く側のベクトルの向きを反転させて足し合わせれば良いのである。


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