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ベクトルとは


 物理学の中には”大きさ”のみを表すスカラー、”向き”と”大きさ”を表すベクトルがある。 例えば、質量や温度は”向き”を持たないのでスカラー量であり、速度、電場、磁場、力などは”大きさ”に加えて”向き”を持つのでベクトル量である。 ベクトル計算は物理学を扱う上で最も基礎的なことの一つなので、ベクトルの理解は重要である。

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図1. Aベクトル


図1のような点Pから点Qへの矢印Aを考える。この矢印Aこそがベクトルと呼ばれるものである。 このベクトルは点Pから点Qに向かうので\( \vec{PQ} \)や矢印の通称を取って\( \vec{A} \)と表される。 主に大学では矢印で記すのではなく太字の\( \bf{A} \)と表記することが多い。 これらはどの表記でも数学的には間違っていないが、多くの場合は太字で示されるので、ここでもベクトルは統一して太字で示す。 ベクトルの大きさはベクトル記号に絶対値を取って、\( | \bf{A} | \)と表す。
 \( P \)の座標を\( (x_1, y_1) \)、\( Q \)の座標を\( (x_2, y_2) \)とすると、 \( \bf{A} \)の成分は\( (x_2-x_1, y_2-y_1) \)で表される。 これは、\( {\bf A} \)は\(x\)方向に\( x_2 - x_1 \)、\( y \)方向に\( y_2 - y_1 \)に進むということを意味している。 大きさは三平方の定理より、 \begin{equation} |{\bf A}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \end{equation} である。

ベクトルの主な振る舞い
 ベクトルは数字と同じく足し、引き、掛け算ができる。 ベクトルの場合は、大きさだけでなく向きを持つため、通常の足し引きや掛け合わせを行うのではなく、”向き”と”大きさ”の足し算、引き算、掛け算を行わなくてはならない。 これらのベクトルの足し算・引き算ベクトルとスカラーの掛け算ベクトルとベクトルの掛け算については別のページで紹介する。 これらのベクトルの演算は、力の合成や電場、磁場内を運動するときの荷電粒子の運動などの場面で活躍する。 では、次にベクトルの簡単な振る舞いについて紹介したいと思う。

平行なベクトル

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図2. 平行なベクトル


 図2に示す、\( \bf{A} \)に平行な\( \bf{B} \)を考える。\( \bf{A} \)と\( \bf{B} \)は向きも大きさも同じであるので。 同じベクトルということができる。つまり、 \begin{equation} {\bf A} = {\bf B} \end{equation} である。よって、平行なベクトルは互いに等しい

平行で向きが反対なベクトル

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図3. 平行で向きが反対なベクトル


 図3に平行で向きが反対なベクトルを示す。向きが反対と言うことは反対向きに進むということを意味する。 成分を考えれば、大きさが同じで向きが反対はベクトルは互いに符合が異なる


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