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 極座標におけるニュートンの運動方程式とラグランジュ方程式


 \(x,\ y\)の直交座標系からニュートンの運動方程式を\( r,\ \theta \)の極座標系に書き換えると、 \begin{eqnarray} m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) &=& - \frac{\partial U}{\partial r}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ m(r\ddot{\theta} + 2 \dot{r}\dot{\theta}) &=& - \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となるが、ラグランジュ方程式は極座標でも \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{r}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\theta}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となり、その形を変えることはない。 ニュートンの運動方程式とラグランジュ方程式は同じであるので、 式(1)、(2)と式(3)、(4)とが同じにならなくてはならない。 ではここでは、それを明らかにしていこうと思う。
 まず、ラグラジアンを求める。\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta \)である関係を使って、 運動エネルギー\(T\)は \begin{eqnarray} T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) &=& \frac{1}{2} m \left\{ (\dot{r}\cos\theta - \dot{\theta}r\sin\theta)^2 + (\dot{r}\sin\theta + \dot{\theta}r\cos\theta)^2 \right\} \\ &=& \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + \dot{\theta}^2r^2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と求められる。つまり、\(U\)を\(r, \theta\)の関数であるとすると、ラグラジアン\( {\cal L} \)は、 \begin{eqnarray} {\cal L} = T - U = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + \dot{\theta}^2r^2) - U\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} と表される。ここでまず、式(3)の左辺と右辺にそれぞれ代入してみる。 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{r}} \right) &=& \frac{d}{dt} \left( m\dot{r}\right) = m\ddot{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \\ \frac{\partial {\cal L}}{\partial r} &=& m r \dot{\theta}^2 - \frac{\partial U}{\partial r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} となり、まとめると、 \begin{eqnarray} m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) &=& - \frac{\partial U}{\partial r} \end{eqnarray} である。ここで、式(1)が出てきた。これにより、式(1)と式(3)は同じ意味であったことがわかる。 次に、式(4)の両辺に代入する。 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\theta}} \right) &=& \frac{d}{dt} \left( mr^2\dot{\theta}\right) = m(2r\dot{r}\dot{\theta} + mr^2\ddot{\theta})\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \\ \frac{\partial {\cal L}}{\partial \theta} &=& - \frac{\partial U}{\partial r}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{eqnarray} まとめると、 \begin{eqnarray} m(r\ddot{\theta} + 2 \dot{r}\dot{\theta}) &=& - \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta} \end{eqnarray} となり、式(2)が出てきた。よって、式(2)と式(4)は同じ意味であったことがわかる。 このようにして、ラグランジュ方程式を極座標に変換しても、その形を変えずしっかりと成り立つことを示せた。

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