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 ラグランジュ方程式の座標変換


 ラグランジュ方程式とニュートンの運動方程式は物理的意味としては全く同じだが、その特徴は大きく違う。 ニュートンの運動方程式は2次元の直交座標系では \begin{eqnarray} m \frac{d^2x}{dt^2} &=& - \frac{\partial}{\partial x} U(x,\ y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ m \frac{d^2y}{dt^2} &=& - \frac{\partial}{\partial y} U(x,\ y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} であった。ここで、ポテンシャル\( U\)は\(x,\ y\)の関数であるとする。 (導出方法は力学的エネルギー保存のページで) この方程式はものすごくわかりやすく、ニュートンの運動方程式の右辺は力\(F \)を示しており、\(x,\ y\)の関数であるポテンシャルエネルギーが存在する系に物体を置くと、ポテンシャルエネルギーが減る方向に力を受け、その方向に加速度が生じるのである。 ものすごく、直感的なニュートンの運動方程式であるが、一つだけ欠点がある。 それは座標変換に弱いことである。 どういうことかと言うと、ニュートンの運動方程式を2次元極座標に書き換えると、 \begin{eqnarray} m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) &=& - \frac{\partial U}{\partial r}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\ m(r\ddot{\theta} + 2 \dot{r}\dot{\theta}) &=& - \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となる。ちょっと複雑になったが、三次元極座標(球座標)ではもっと複雑になる。(ここでは示さないが) このように、座標系が変わると運動方程式を変えていかなくてはならない。 しかし、回転や振動などの問題を解く場合は極座標を用いたほうが簡単な場合が多いので、座標系が変わって言ってもその形が変わらない運動方程式があると便利である。
 ラグランジュ方程式は直交座標だろうが、極座標だろうが全くその形を変えることはない。 まず、直交座標系のラグランジュ方程式は以下のように書かれる。 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{x}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{y}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial y} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} この状態ではニュートンの運動方程式より分かりにくい形ではあるが、左辺は加速度、右辺は物体に加わる力のことを意味している。 ではこの\(x, y\)の直交座標系から\( r,\ \theta \)で表される極座標系に書き換えてみる。すると、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{r}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\theta}} \right) &=& \frac{\partial {\cal L}}{\partial \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} となる。直交座標系の時となんら変化なく、\(x,\ y\)が\( r,\ \theta\)に書き換えられただけである。 初めて見た時は騙されたような気になるが、ラグランジュ方程式なら何の苦労もなく、極座標系で運動方程式を求めることができるのであ。 このように、ラグランジュ方程式は座標系が変わってもその形を全く変えることはないのである。 では、次のページで本当に極座標系になっているのか確認する。

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