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 極極座標でのニュートンの運動方程式


 直交座標系である、\(x,\ y\)座標系において、ポテンシャルエネルギー\( U\)が\(x,\ y\)の関数である時、 運動方程式は \begin{eqnarray} m \frac{d^2x}{dt^2} &=& - \frac{\partial}{\partial x} U(x,\ y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ m \frac{d^2y}{dt^2} &=& - \frac{\partial}{\partial y} U(x,\ y) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} と表すことができるのであった。(導出方法は2次元の運動方程式のページで) 回転運動や重力ポテンシャルの問題を解く際には極座標が用いられる。 極座標で運動方程式を立てる時は、直交座標系での運動方程式を変換しなければならない。 ここでは、直交座標系の運動方程式から極座標系の運動方程式の導出を行う。
 まず、直交座標系の\( x,\ y\)と、極座標系の\( r, \theta \)の関係は \begin{eqnarray} x &=& r \cos \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ y &=& r \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ r &=& \sqrt{x^2 + y^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} である。この式から\(x,\ y\)の時間\(t\)に対する2階微分\( \ddot{x},\ \ddot{y} \)を求めると、以下のようになる。 \begin{eqnarray} \ddot{x} &=& \ddot{r} \cos \theta - 2\dot{r}\dot{\theta} \sin \theta - r\ddot{\theta}\sin\theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \\ \ddot{y} &=& \ddot{r} \sin \theta - 2\dot{r}\dot{\theta} \cos \theta - r\ddot{\theta}\cos\theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \\ \end{eqnarray} ここで、\( \dot{r},\ \dot{\theta} \)は\( r,\ \theta \)の時間微分で、点が2つのものは2階微分である。 これで、直交座標系の運動方程式(1), (2)の左辺は変換できた。 次に式(1), (2)の右辺について変換を行なっていく。 極座標に変換しても、ポテンシャルエネルギーは\( r,\ \theta \)の関数であるとすると、以下の関係が成り立つ。 \begin{eqnarray} \frac{\partial U}{\partial x} &=& \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial \theta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \\ \\ \frac{\partial U}{\partial y} &=& \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial U}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial U}{\partial \theta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} ここで、\( \frac{\partial r}{\partial x},\ \frac{\partial r}{\partial y},\ \frac{\partial \theta}{\partial x},\ \frac{\partial \theta}{\partial y} \)を求めれば、運動方程式の左辺も極座標に変換できるのである。\( \frac{\partial r}{\partial x},\ \frac{\partial r}{\partial y} \)は簡単に求めることができて、 \begin{eqnarray} \frac{\partial r}{\partial x} &=& \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{r} = \cos \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \\ \frac{\partial r}{\partial y} &=& \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{r} = \sin \theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{eqnarray} である。\( \theta \)の\(x,\ y\)微分を求めるには少し工夫が必要である。 まず、\( \tan \theta \)は \begin{eqnarray} \tan \theta = \frac{y}{x} \end{eqnarray} で表されることから、 \begin{eqnarray} \theta = \tan^{-1} \frac{y}{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \end{eqnarray} となる。ここで、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dz} \tan^{-1} z = z’ \frac{1}{1+z^2} \end{eqnarray} の公式を使って、 \begin{eqnarray} \frac{\partial \theta}{\partial x} &=& - \frac{y}{x^2} \frac{1}{1+\left( \frac{y}{x} \right)^2} = - \frac{y}{r^2} = - \frac{\sin \theta}{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12)\\ \frac{\partial \theta}{\partial y} &=& - \frac{1}{x} \frac{1}{1+\left( \frac{y}{x} \right)^2} = \frac{x}{r^2} = \frac{\cos \theta}{r}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \end{eqnarray} を導くことができる。これら求めた関係式を用いて、式(1)、(2)は以下のように書き換えられる。 \begin{eqnarray} m ( \ddot{r} \cos \theta - 2\dot{r}\dot{\theta} \sin \theta - r\ddot{\theta}\sin\theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta ) &=& -\cos \theta \frac{\partial U}{\partial r} + \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14) \\ m ( \ddot{r} \sin \theta - 2\dot{r}\dot{\theta} \cos \theta - r\ddot{\theta}\cos\theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta ) &=& -\sin \theta \frac{\partial U}{\partial r} - \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial U}{\partial \theta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (15) \end{eqnarray} このままだと非常に見づらいので、式(14)の両辺に\( \cos\theta \)、式(15)の両辺に\( \sin \theta \)をかけて、二つの式を足し引きすると、 \begin{eqnarray} m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) &=& - \frac{\partial U}{\partial r}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (16)\\ m(r\ddot{\theta} + 2 \dot{r}\dot{\theta}) &=& - \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{eqnarray} を得。これで、\( r\)方向、\( \theta \)方向の運動方程式を導くことができた。 このようにして、座標によって運動方程式は変化し、極座標系の運動方程式はかなり複雑になるのである。

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