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 力学的エネルギーの保存


 運動エネルギーと位置エネルギーの総和は時間変化しないと言うことを、力学的エネルギーの保存と言う。 高校の物理であると、高い所にある物体が低い所へ運動した時の速度を求めたりする場合に、この力学的エネルギー保存の法則を使うことが多かった。 しかし、大学の物理であると、バネの釣り合いからの距離や、電荷からの距離に比例する「位置エネルギー」を取り扱う。 そこで、これらの位置エネルギーを総称して、「ポテンシャルエネルギー」と呼ぶことにする。 つまり、力学的エネルギーとは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和のことを言うのである。
 力学的エネルギーは外部からの無理矢理力が加えられたりしない限り、変化することはない。 この法則は実はニュートンの運動方程式から導くことができるので、ここではそれをやってみる。 ニュートンの運動方程式は \begin{eqnarray} m \frac{d^2x}{dt^2} = F\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} と書ける。この時、ポテンシャルエネルギーに関して議論したいので、\( F \)は\( x \)の位置座標だけに依存する力として\( F(x) \)とできる場合を考える。 ちなみに、人間の手によって加えられる力のように、時間によって変化する力\( F(t) \)がかかっている場合は力学的エネルギーの保存は成り立たない。 話を戻して、運動方程式である式(1)の両辺に\( dx/dt \)を掛けると、 \begin{eqnarray} m \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dx}{dt} F(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} を得る。ここで、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \frac{d}{dt} v^2 = 2 v \frac{dv}{dt} = 2 \frac{dx}{dt} \frac{d^2 x}{dt^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} の関係式があるので、式(2)の左辺は \begin{eqnarray} m \frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{m}{2} \frac{d}{dt} \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} とできる。次に右辺を変形してみる。 右辺を空間積分の形に置き換える。 \begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} F(x) = \frac{dx}{dt} \left( \frac{d}{dx} \int_{x_0}^{x} F(x)\ dx \right) = \frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x} F(x)\ dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} これは式(5)の括弧内が積分して微分したら\(F(x)\)に戻ると言う法則を利用して変形している。 式(4)と式(5)から式(2)は以下のように書き換えられる。 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \left\{ \frac{1}{2}m \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 - \int_{x_0}^{x} F(x)\ dx \right\} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} この式の括弧内の第1項は運動エネルギーであることはすぐにわかるだろう。第2項はマイナスも含めてポテンシャルエネルギーなのである。 なぜマイナスが付くかと言うと、原点\(x_0 \)から\( x \)まで\( F(x) \)という力に対抗して物体を移動させるたまである。 (F(x)は移動させる方向に対して反対向きにかかるから) ここで、運動エネルギーを\( T \)、ポテンシャルエネルギーを\( U \)とすると、 \begin{eqnarray} T &=& \frac{1}{2} m \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 \\ U &=& - \int_{x_0}^{x} F(x)\ dx \end{eqnarray} となる。ここで、力学的エネルギー\( E \)は\( E= T+U\)で表されるので、式(6)より、 \begin{eqnarray} \frac{d}{dt} E = 0 \end{eqnarray} と言う力学的エネルギーは時間変化しないと言う、力学的エネルギーの保存の法則を導けるのである。

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