位置、速度、加速度の関係

カテゴリー：力学

位置、速度、加速度の関係について説明していく。

位置とは、物体がどこにあるかを表す量であり、速度は単位時間にどれだけ距離が進むのかを表し、加速度は単位時間に速度がどれだけ変化するかを表す。

高校物理では、速度\(v\)と位置\(x\)と加速度\(a\)の関係は以下のように示された。

\begin{eqnarray} x &=& \frac{1}{2}a t^2 + v_0 t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ v &=& at + v_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

ここで、\( v_0 \)は初速度である。大学では、物理の計算に微分や積分を用いてることが多い。

直感的に気づいている人も多いと思うが、位置、速度、加速度の時間変化はそれぞれの微分、積分の関係にある。

どう言うことかと言うと、単位時間にどれだけの距離を進むのかを表すのが速度である。

つまり、進んだ距離における時間の変化量が速度であるので、距離の微分が速度になる。

\begin{eqnarray} v = \frac{dx}{dt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}

ということは逆に速度を積分すると距離になるのである。

\begin{eqnarray} x = \int v\ \mathrm{dt} = vt + x_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}

ここで、\(x_0\)は積分定数で初期位置と呼ばれる。加速度と速度に関しても同じことが言える。

単位時間にどれだけ速さが変わるのかを表すのが加速度である。つまり、加速度は速度における時間の変化量を表すのであるから、

\begin{eqnarray} a = \frac{dv}{dt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray}

である。この式を積分することで、

\begin{eqnarray} v = \int a\ \mathrm{dt} = at + v_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray}

となり、高校で習った式(2)が導けた。ここで、\( v_0 \)も積分定数で初期速度と呼ばれる。

さらに式(6)を積分することで、

\begin{eqnarray} x = \int( at + v_0 )\ \mathrm{dt} = \frac{1}{2} at^2 + v_0 t + x_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray}

となり、初期位置\(x_0=0\)とすれば、高校の物理で習った式(1)を導けるのである。

このようにして、位置、速度、加速度は互いに密接に関係しているのである。

当然ではあるが、加速度は位置の２階微分である

\begin{eqnarray} a = \frac{d^2x}{dt^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray}

で表される。