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 位置、速度、加速度の関係


 高校物理では、速度\(v\)と位置\(x\)と加速度\(a\)の関係は以下のように示された。 \begin{eqnarray} x &=& \frac{1}{2}a t^2 + v_0 t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ v &=& at + v_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} ここで、\( v_0 \)は初速度である。 大学では、物理の計算に微分や積分を用いてることが多い。 直感的に気づいている人も多いと思うが、位置、速度、加速度の時間変化はそれぞれの微分、積分の関係にある。 どう言うことかと言うと、単位時間にどれだけの距離を進むのかを表すのが速度である。 つまり、進んだ距離における時間の変化量が速度であるので、距離の微分が速度になる。 \begin{eqnarray} v = \frac{dx}{dt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} ということは逆に速度を積分すると距離になるのである。 \begin{eqnarray} x = \int v\ \mathrm{dt} = vt + x_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} ここで、\(x_0\)は積分定数で初期位置と呼ばれる。加速度と速度に関しても同じことが言える。 単位時間にどれだけ速さが変わるのかを表すのが加速度である。つまり、加速度は速度における時間の変化量を表すのであるから、 \begin{eqnarray} a = \frac{dv}{dt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} である。この式を積分することで、 \begin{eqnarray} v = \int a\ \mathrm{dt} = at + v_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} となり、高校で習った式(2)が導けた。ここで、\( v_0 \)も積分定数で初期速度と呼ばれる。 さらに式(6)を積分することで、 \begin{eqnarray} x = \int( at + v_0 )\ \mathrm{dt} = \frac{1}{2} at^2 + v_0 t + x_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} となり、初期位置\(x_0=0\)とすれば、高校の物理で習った式(1)を導けるのである。 このようにして、位置、速度、加速度は互いに密接に関係しているのである。 当然ではあるが、加速度は位置の2階微分である \begin{eqnarray} a = \frac{d^2x}{dt^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray} で表される。

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