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 三角形の角と辺


 三角形の角と辺について以下の定理が成り立つ。
 1つの三角形において、
  1. 大きい辺に対する角は、小さい辺に対する角より大きい。
  2. 大きい角に対する辺は、小さい角に対する辺より大きい。

これを図にすると図1のようになる。

fig5-1-1.png

図1.

 では、上の定理を証明する。 図2のように三角形の中に二等辺三角形を作るように、辺ABと同じ長さの辺ADを辺AC上に作る。 つまり、\( \triangle{ABD} \)は二等辺三角形であるので、AB = ADである。 よって、辺AC > 辺AB となる。

fig5-1-2.png

図2.

次に、 \begin{eqnarray} \angle B = \angle ABD + \angle DBC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} であるので、\( \angle ABD = \angle ADB \)であることを使って、 \begin{eqnarray} \angle B > \angle ADB\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} であることが言える。これは\( \angle DBC\)が負になることはないからである。 また、 \begin{align} \angle BDC &= 180^{\circ} - \angle ADB &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\ \angle DBC + \angle BDC + \angle C &= 180^{\circ} &(4) \end{align} であることを使うことで、 \begin{eqnarray} \angle ADB = \angle C + \angle DBC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} を得る。これはつまり、 \begin{eqnarray} \angle ADB > \angle C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} であることを意味している。 式(2)と式(6)より、 \begin{eqnarray} \angle B > \angle C \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} となる。
 以上より、辺AC > 辺AB ならば \(\angle B > \angle C \)であることを示すことができた。 また、その逆も真となり、\( \angle B > \angle C \) ならば  辺AC > 辺AB である。

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