背理法
カテゴリー：数学A
ある命題を証明しようとした時に、「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる」 ということを示すことで命題が成り立つことを証明する方法がある。
これを背理法と呼ぶ。
要するに、「\(p\)ならば\(q\)」が成り立つことを証明すると言うことは「\(p\)ならば\(q\)でない」ことを示そうとすると矛盾が生じることを証明すればいいのである。
早速例題を出して解いていこうと思う。 背理法の例題として以下の有理数と無理数の問題がよく取り上げられる。
「\(\sqrt{2}\)が無理数であることを証明せよ」
では、この問題を背理法を使って証明したいと思う。
もし、\(\sqrt{2}\)が無理数でないと仮定すると、「\(\sqrt{2}\)は有理数である」と言うことが言える。 これの矛盾を明らかにできれば、命題を証明できたことになる。
有理数の場合、1以外に公約数を持たない2つの自然数（互いに素）である\( a\)と\(b\)を使った分数で表される。
\begin{eqnarray} \sqrt{2} = \frac{a}{b} \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}
式変形すると、
\begin{eqnarray} a = \sqrt{2}b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}
を得る。両辺を二乗することで、
\begin{eqnarray} a^2 = 2 b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}
を得るのである。ここで式(3)を少し見てみよう。 右辺に2があるので、\( a^2 \)は偶数である。
2乗して偶数になるのは偶数しかないので\( a \)も偶数である。
また\( b \)はどうだろうか？ 式(3)を少し変形すると、
\begin{eqnarray} b^2 = \frac{a^2}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}
となる。先ほど\( a\)は偶数であることがわかっているので、偶数÷偶数は偶数なので、\( b\)も偶数である。
となると、\( a \)と\( b\)の定義である1以外に公約数を持たない2つの自然数ということに矛盾する。 （長々と説明してしまったが、式(3)を満たす自然数なんてないよ。という意味である。）
つまり、\( \sqrt{2} \)は有理数であると言う仮定に矛盾が生じる。 よって、「\(\sqrt{2}\)は無理数である」ことが証明できる。
