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 逆・裏・対偶


 条件\( p \)と条件\(q \)がある時、\( p \Longrightarrow q\)に対して、

 \(q \Longrightarrow q\) を \( p \Longrightarrow q\) の 
 \( \overline{p} \Longrightarrow \overline{q} \) を \( p \Longrightarrow q\) の 
 \( \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} \) を \( p \Longrightarrow q\) の 対偶

である。これを図示したものが図1である。

fig4-6-1.png

図1.

文字式だけだとわかりにくいので、実際の例題を取り扱ってみる。
「\(x\)を実数とするとき、\(x=1 \Longrightarrow x^2=1\)」の逆、裏、対偶を求めよ。」
という問題があった時、逆は矢印の両端を入れ替えればよくて、裏は矢印の両端を否定すればいい。 また、対偶は裏の逆を取ればいいので、
 逆は \( x^2 = 1 \Longrightarrow x=1\)
 裏は \( x \ne 1 \Longrightarrow x^2 \ne 1 \)
 対偶は \( x^2 \ne 1 \Longrightarrow x \ne 1 \)
である。ここで、それぞれの真偽を見ていこうと思う。 まず、\(x=1 \Longrightarrow x^2=1\)は真である。 しかし逆、\( x^2 = 1 \Longrightarrow x=1\)は反例\(x=-1\)があるので偽である。 つまり、

真である命題の逆は、必ずしも真ではない。
(真の可能性も偽の可能性もある)


ということが言える。
 裏はどうだろうか? 裏は\( x \ne 1 \Longrightarrow x^2 \ne 1 \)で、同様に反例\( x=-1 \)があるので、命題が真であってもその裏が必ずしも真とは限らないのである。
 対偶はどうだろうか? 対偶は\( x^2 \ne 1 \Longrightarrow x \ne 1 \)である。 これは反例が見つからない。 つまり、真である。 では、真である命題の対偶は常に真になるのか調査してみる。

fig4-6-2.png

図2.

もう一度、命題が真であるということはどういうことか確認する。 条件\( p \)を満たす集合を\( P \)、条件\( q \)を満たす集合を\( Q \)とする。 その時、\( p \Longrightarrow q \)が真であるということは\( P \)は\( Q \)の部分集合であるということである。 よって、対偶\( \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} \)が真であるということは\( \overline{Q} \) は\( \overline{P} \)の部分集合であれば良い。 図2でそれを確認すると、\( P \subset Q\)ということは\( \overline{Q} \subset \overline{P} \)であることと同値であることがわかる。つまり、
 \( P \subset Q \Longleftrightarrow \overline{Q} \subset \overline{P} \)

である。つまり、

 命題\( p \Longrightarrow q \)とその対偶\( \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} \)の真偽は一致する。
よって命題を証明する場合は、その対偶を証明しても良い。


ということが言えるのである。

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