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 和事象の確率


 ある全事象\( U\)、ある事象\(A\)、\(B\)がある場合を考える。 事象\(A\)と事象\( B \)が起こる確率\(P(A),\ P(B)\)はそれぞれ、 \begin{align} P(A) &= \frac{n(A)}{n(U)} &(1) \\ \\ P(B) &= \frac{n(B)}{n(U)} &(2) \end{align} と表される。では、事象\(A\)と事象\(B\)の和事象\( A \cup B \)が起こる確率\( P(A \cup B) \)はどのように表されるのであろうか。 もし、図1のように事象\(A\)と事象\(B\)が互いに共通部分を持たない場合は、簡単に \begin{eqnarray} P(A \cup B) = P(A) + P(B) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} であることがわかるだろう。 これを確率の加法定理と言う。 わかりやすい例で例えると、さいころを1回振るという試行を行い、事象\(A\)を「3の目が出る」とし、事象\(B\)を「5の目が出る」としたとする。 この時の和事象\(A\cup B\)は「3の目か4の目が出る」という事象となる。

fig3-8-1.png

図1. 互いに排反な事象\(A\)と事象\(B\)

両者は共通部分を持たない(1回さいころを振って3と5の目が出ることはありえない)ので、\(A\)と\(B\)が起こる確率\(P(A)\)、\(P(B)\)は、 \begin{eqnarray} P(A) &=& \frac{1}{6} \\ P(B) &=& \frac{1}{6} \end{eqnarray} であることはすぐにわかると思う。よって、\( A \)と\( B\)の和事象\( A \cup B\)が起こる確率\( P(A\cup B) \)は、式(3)を使って、 \begin{eqnarray} P( A \cup B ) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \end{eqnarray} と導けるのである。 このように、事象\( A \)と事象\( B\)が共通部分を持たないとき、「互いに排反である」または、「事象\( A \)と事象\( B\)は排反事象である」と言う。 では次に、事象\( A \)と事象\( B\)が共通部分を持っている場合を考える。

fig3-8-2.png

図2. 共通部分を持つ事象\(A\)と事象\(B\)

事象\( A \)と事象\( B\)が共通部分を持っている場合は、図2のようになる。 つまり、和集合の要素数が重要になっている。 では簡単な例を使って考えてみる。
 さいころを1回振る時、偶数が出るという事象を\(A\)、3以下の目が出るという事象を\( B \)とすると、
\(A\) = {2, 4, 6}
\(B\) = {1, 2, 3}

であることがわかる。 この時、共通部分\( A \cap B\)は、 \begin{eqnarray} A \cap B = \{2\} \end{eqnarray} である。 \( A \cap B\)の要素は{2}のみで、要素数は1である。 よって、1つだけ被っている。この被っている数を\(A\)の要素数と\(B\)の要素数から引いてやれば、和事象の要素数が得られる。 このことから、和事象\( A \cup B \)の要素数\( n(A \cup B) \)は、以下のように表される。 \begin{eqnarray} n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \end{eqnarray} 和事象の確率は上の式全体を全事象\( U\)の要素数で割ってやればいいでので、和事象の確率は \begin{eqnarray} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{eqnarray} であることを導ける。

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