反復試行の確率

カテゴリー：数学A

「硬貨を1枚投げる」や「さいころを1回振る」といった試行を行うとする。

このような試行を同じ条件のもとで繰り返し行う時、1回、1回の試行は独立である。

このように同じ試行を同じ条件のもとで繰り返し行う試行を、反復試行と呼ぶ。

簡単な例を出そう。

「1個のさいころを3回続けて振った時、1が2回で出る確率はいくつか。」

と言う問題があったとする。

1回のさいころを振って1が出る確率はもちろん\( \frac{1}{6} \)である。

また、1回のさいころを振って1以外の目が出る確率は\( \frac{5}{6} \)である。

1の目が2回出ればよく、それぞれの試行は独立であるので、1の目が出る確率を2回、1以外の目が出る確率を1回掛け合わせればよい。

次に、あたりが何回目に引く時に出るのかを掛け合わせなくてはならない。

3回のうち2回の当たりを引くと言うことは、3個の場所から2個当たりを置く場所を選ぶ総数である、

\begin{eqnarray} {}_3 \mathrm{C}_2 \end{eqnarray}

に等しい。つまり、「1個のさいころを3回続けて振った時、1が2回で出る確率」は、

\begin{eqnarray} {}_3 \mathrm{C}_2 \times \left( \frac{1}{6} \right)^2 \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72} \end{eqnarray}

となることがわかる。

このように、1回の試行で事象\( A \)が起こる確率を\( p \)とすると、この試行を\(n \)回反復試行を行い、事象\( A \)が\( r \)回起こる確率は以下のように表される。

\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r p^r q^{n-r} \end{eqnarray}

と表される。ここで、\( q = p-1 \)である。

反復試行を行う際は、それぞれの試行は独立であるので、それぞれの試行がおこる確率を掛け合わせ、それに組み合わせを掛け合わせれば良いのである。