トップ > 数学A > 独立な試行の確率

 独立な試行の確率


 さいころを1回振り、同時に裏と表が区別できるコインを投げる時、さいころのどの目が出るかどうかと言うことに、コインが裏か表がでるかどうかということは全く関係ない。 このように2つの試行が違いに、違いの結果に影響を全く与えない時、2つの試行は独立であるという。
 独立な試行かどうかは確率の計算を行う際に非常に有効であるが、ここで独立と排反の違いについて簡単に述べておく。 独立は「さいころを1回振る」や「コインを投げる」といった2つ以上の試行がお互いが全く影響を与えないことであるが、 排反は試行を行い得られた結果である事象がお互いに共通部分を持たないことを言うのである。 実は簡単なことではあるが、独立と排反の違いをたまにわからなくなってしまうことがあるので、注意が必要である。

 では、独立に起こる確率はどのように計算できるのであろうか? さいころとコインからは少し離れて、よく出題されるくじを例にしてみようと思う。

3本のくじがあり、その中に1本が当たりくじであるとする。そのくじを2回引く時に、2回とも当たりくじを引く確率を求める。 ただし、1回引いたくじは戻すとする。


と言う問題があったとする。 1回目にくじを引いいて2回目を引く前に1回目に引いたくじを戻すので、1回目と2回目の試行は独立である。 まずは樹形図を書いてみる。

fig3-10-1.png

図1. 樹形図

この樹形図から、1回目に赤色で示した当たりを引いてから、2回目も赤色で示した当たりを引く確率は、 \begin{eqnarray} \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \end{eqnarray} から、1/9であることがわかる。つまり、1回目の当たりを引く確率である1/3と、2回目に当たりを引く確率である1/3の掛け算で2回とも当たりを引く確率を得られるのである。 つまり、2回の独立な試行があり、それぞれの試行によって事象\( A \)と事象\( B\)が起こる確率を\( P(A) \)、\( P(B) \)とすると、 事象\( A \)と事象\( B\)が起こる確率\( P(C) \)は、 \begin{eqnarray} P(C) = P(A)\times P(B) \end{eqnarray} で表されるのである。このように2つ確率の積で表されるのである。

広告