組合わせ
カテゴリー:数学A
組み合わせとは、異なる\(n\)個のものの中から異なる\( r \)個のものを取り出し、 その順序は考慮しない場合の組み合わせの数のことである。
組み合わせの公式は、
\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r \end{eqnarray}
で表される。この時の「C」は「Combination(コンビネーション)」と呼ばれる。
「C」の計算は、
\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r = \frac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!} \end{eqnarray}
である。
では例題を使って、組み合わせを説明する。
図1のようにA, B, C, Dの4人から3人をミニバスケットボールの選手に選ぶと何通りの組み合わせができるだろう?
\( n \)個から\( r \)個とる順列の場合は、\( {}_n \mathrm{P}_{r} \)で表された。
しかし、順列の場合は、
は区別して、それぞれ1つとして数えていた。
図1.
しかし、チームを作る場合などは並び方は関係なく、チームのメンバーが重要なだけである。
{A, B, C}も、{A, C, B}も同じチームとしてカウントする。
よって、{A, B, C}の並び方\( 3! \)で、他の組み合わせについても同じことが言えるので、 順列と組み合わせの関係は、
\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r \times r! = {}_n \mathrm{P}_r \end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r = \frac{ {}_n \mathrm{P}_r }{ r! } \end{eqnarray}
である。よって、4人の中から3人選んでミニバスケットボール選手を選ぶ組み合わせは、
\begin{eqnarray} {}_4 \mathrm{C}_3 =\frac{ {}_4 \mathrm{P}_3 }{ 3! } = 4 \end{eqnarray}
より、4通りであることがわかる。
このように取り出したものの順序を考慮する場合は順列で「P」を使い、 取り出したものの順序を考慮しない場合は組み合わせで「C」を使うのである。
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