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 組合わせ


 異なる\(n\)個のものの中から異なる\( r \)個のものを取り出し、その順序は考慮しない場合、 \(n\)個から\( r \)個取る組み合わせと言い、その公式は、 \begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r \end{eqnarray} で表される。この時の「C」は「Combination(コンビネーション)」と呼ばれる。 「C」の計算は、 \begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r = \frac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!} \end{eqnarray} である。 では例題を使って、組み合わせを説明する。

 図1のようにA, B, C, Dの4人から3人をミニバスケットボールの選手に選ぶと何通りの組み合わせができるであろうか? \( n \)個から\( r \)個とる順列の場合は、\( {}_n \mathrm{P}_{r} \)で表された。 しかし、順列の場合は、
{A, B, C}, {A, C, B}, {B, A, C}, {B, C, A}, {C, A, B}, {B, B, A}

は区別して、それぞれ1つとして数えていた。  

fig2-4-1.png

図1.

しかし、チームを作る場合などは並び方は関係なく、チームのメンバーが重要なだけである。 {A, B, C}も、{A, C, B}も同じチームとしてカウントする。 よって、{A, B, C}の並び方\( 3! \)で、他の組み合わせについても同じことが言えるので、 順列と組み合わせの関係は、 \begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r \times r! = {}_n \mathrm{P}_r \end{eqnarray} より、 \begin{eqnarray} {}_n \mathrm{C}_r = \frac{ {}_n \mathrm{P}_r }{ r! } \end{eqnarray} である。よって、4人の中から3人選んでミニバスケットボール選手を選ぶ組み合わせは、 \begin{eqnarray} {}_4 \mathrm{C}_3 =\frac{ {}_4 \mathrm{P}_3 }{ 3! } = 4 \end{eqnarray} より、4通りであることがわかる。
 このように取り出したものの順序を考慮する場合は”順列”で「P」を使い、 取り出したものの順序を考慮しない場合は”組み合わせ”で「C」を使うのである。

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