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 重複順列


 1, 2, 3, 4, 5の数字を使って、4桁の整数を作る。この時作られるの整数の個数の総数

 この例題の説明をしていこうと思う。 例題を図にすると、図1のように、千の位、百の位、十の位、一の位に1から5の数字を選んで行くことになる。  

fig2-7-1.png

図1.

この場合、千の位には1から5、百の位にも1から5、十の位にも、一の位にも1から5を選ぶことができる。 これはすべてに1を選ぶこともできるし、選ばないこともできる。 他の数字に対しても同じことである。 このように、\( n \)個のものから、重複を許して、\( r \)個を取り出す順列を重複順列という。  

fig2-7-2.png

図2.

問題に戻って、何通りあるのかを考えていく。すると、すべての位に5個選ぶことができて(図2)、 それは同時に起こるから積の法則より、 \begin{eqnarray} 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625 \end{eqnarray} となり、625通りであることがわかる。このように、\( n \)個から\( r \)個取る場合の重複順列の総数は \begin{eqnarray} n^r \end{eqnarray} である。

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