階乗

カテゴリー：数学A

\( n \)個の中から、\( r \)を選ぶ順列を計算する時、その総数は、

\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \end{eqnarray}

で表される。特に、\( r= n \)の時は、

\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{P}_n = n(n-1)(n-2) \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \end{eqnarray}

となる。

これは、異なる\( n \)個のものから全てを選ぶ縦列の総数である。

この時の総数は\( 1 \)から\( n \)までの全ての自然数の積で表される。

これを、階乗と呼び、\( n ! \)で表される。

階乗の具体的な計算方法は、

\begin{eqnarray} n! = {}_n \mathrm{P}_n = n(n-1)(n-2) \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \end{eqnarray}

となるのである。例題を使って、計算してみる。

図1のようにA, B, C, Dの4人がいるとする。この4人の並べ方は何通り考えられるだろうか？

図1.

これは4人の中から4人を選ぶ順列の総数が解となるので、

\begin{eqnarray} {}_4 \mathrm{P}_4 = 4! = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \end{eqnarray}

から、24通りであることがわかる。

このようにして、すべてを選択する際には階乗を用いるのである。

ちなみに1から10までの階乗は以下のようになる。

\begin{align} 1! &= 1 \\ 2! &= 2 \\ 3! &= 6 \\ 4! &= 24 \\ 5! &= 120 \\ 6! &= 720 \\ 7! &= 5040 \\ 8! &= 40320 \\ 9! &= 362880 \\ 10! &= 3628800 \\ \end{align}

となる。10の階乗ともなるととても大きな数字になってしまう。

これは10人の並び方の総数でもあることを意味する。

10人の友人でその並び方を全て実際に行おうとすると、1つの並び方に1秒かけたとして、362880秒つまり、約100時間かかるのである。

100時間とはおよそ4日間なので、4日間飲まず食わずでの1秒ごとに並び方を変え続けてやっと終わるのである。

このように10人という一見少なそうな場合でも並び順を考えると爆発的に並び方の総数が多いのである。