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 多項定理


 二項定理により、\( (a+b)^n \)を展開した際の係数である二項係数を導出することができた。 では、\( (a+b+c)^n \)を展開した時の各項の係数はいくつになるだろうか? これも二項定理を同じように順列の知識を持って解くことができる。 \begin{eqnarray} (a+b+c)^n \end{eqnarray} の展開式を考えよう。今、\( n=7 \)だとして、\( a^3b^2c^2 \)の係数はいくつになるか考えよう。 この係数は\( a,\ a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ c\)の中から7個を取り出して並べる順列の総数に等しい。 言い換えると、同じものを含む順列の総数に等しいのである。 つまり、 \begin{eqnarray} \frac{7!}{3!2!2!} = 210 \end{eqnarray} となり、\( (a+b+c)^7 \)を展開したときの、\( a^3b^2c^2 \)の係数は210であることがわかる。 もっと、一般的に書くと、\( (a+b+c)^n \)の\( a^pb^qc^r \)の係数は、 \begin{eqnarray} \frac{n!}{p!q!r!} \end{eqnarray} となるのである。ただし、\( p+ q+r = n \)である。 このように\( (a+b+c)^n \)の\( a^pb^qc^r \)の係数を求めることができるような定理を、 多項定理と呼ぶのである。ちなみに、多項定理は、 \( (a+b+c+d)^n \)の\( a^p b^q c^r d^s \)の係数を求める際も、 \begin{eqnarray} \frac{n!}{p!q!r!s!} \end{eqnarray} とすることができるなど、括弧内の変数が増えた場合でも適応可能である。

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