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 同じものを含む順列


 図1のように赤い玉が3つ、青い玉が2つ、緑の玉が1つあるとき、これらの玉を全て使って並べる場合は何通りあるだろうか。 まずは、赤い玉の並び方を考える。玉の合計数は6個であるので、並べる位置は、6箇所である。 赤い玉は3つでそれぞれに区別はないので、6箇所から3箇所を選んで並べることになる。 つまり、赤い玉の並べ方は\( {}_6 \mathrm{C}_3 \)である。 次に、青い玉の並べ方は残りの3箇所から2箇所を選ぶので、\( {}_3 \mathrm{C}_2 \)である。 最後の緑の玉は残りの1箇所にしか入れないので、1通りしかない。 これらは全て同時に起こるので、 \begin{eqnarray} {}_6 \mathrm{C}_3 \times {}_3 \mathrm{C}_2 \times 1 = \frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1} \times \frac{3\cdot2}{2\cdot1} \times 1 = 120\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} から120通りであることがわかる。 この計算方法は、青い玉から選ぼうが、緑の玉から選ぼうが結果は同じとなる。  

fig2-11-1.png

図1.

ここで、式(1)をもう少し注意深く見ていこうと思う。 式(1)は以下のように変形することができる。 \begin{eqnarray} {}_6 \mathrm{C}_3 \times {}_3 \mathrm{C}_2 \times 1 &=& \frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1} \times \frac{3\cdot2}{2\cdot1} \times 1 \\ &=& \frac{6!}{3!2!1!} = 120 \end{eqnarray} つまり、総数が\( n \)で、その中に\( p \)個、\( q \)個、\( r\)個の重複があるときの並べ方の総数は、 \begin{eqnarray} \frac{n!}{p!q!r!} \end{eqnarray} となるのである。このようにして、同じものを含む場合の順列も求めることができるのである。 ちなみに、総数が\( n \)で、その中に\( p \)個、\( q \)個、\( r\)個、\( s \)個の重複するものがあるような場合でも、 \begin{eqnarray} \frac{n!}{p!q!r!s!} \end{eqnarray} となる。重複するものの個数の階乗を分母にしてやればよいのである。

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