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 空集合


 もし、集合\( A \)と集合\( B \)という2つの集合があり、それぞれの要素が全く共通しない時、 集合\( A \)と集合\( B \)の共通部分は空集合という。 空集合は\( \varnothing \)という記号で表される。 空集合を表す記号\( \varnothing \)はノルウェー語等で用いられるアルファベットに由来しているために、ギリシャ語の\( \phi \)(ファイ)とは異なる。 (よく、参考書等でファイと記述している事があるが、これは間違いである。) ちなみに、ノルウェー北部にトロムソという街がある。この街はノルウェー語で書くと、Tromsøとなる。 sの後ろに空集合の文字があることがわかる。 これを英語表記にするとTromsoeとなるわけで、読み方としては「ォエ」に近くなる。 しかし、実際にこの文字を固有名詞としてはあまり読まず、日本の場合では\( \varnothing \)を「空集合(くうしゅうごう)」と読むことが圧倒的に多い。
 では集合の話に戻って、 集合\( A \)と集合\( B \)に共通部分がない時、 \begin{eqnarray} A \cap B = \varnothing \end{eqnarray} と表される。
 具体的な例を挙げて考えてみよう。空集合は要素を持たないので、あり得ない設定であればなんでも空集合となる。 例えば、「100 mを0.1秒で走ることができる人間の人数」や「身長が30 mの人の人数」、「奇数と偶数の共通部分」などは全部空集合になるのである。

fig1-4-1.png

図1. 集合\( A \)と集合\( B \)。重なる部分が全くない。

 ではここで、もう少し深く考えてみよう。 空集合は要素数が0であるので、何に0を足しても元の数字は変わらないということと同じように、空集合はある集合の一部と考えることができる。 つまり、ある集合\( A \)があった時、空集合は集合\( A \)の部分集合になるわけである。 すなわち、 \begin{eqnarray} A \supset \varnothing \end{eqnarray} なのである。

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