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 部分集合


 部分集合とは、集合\( A \)の要素が集合\( B \)の要素でもあるとき、集合\( A \)は集合\( B \)の部分集合と言う。 では、具体的な場合で考えてみよう。
 例えば、「1から5までの自然数」と言う集合\( Q \)と「1から5までの自然数の中で偶数の全体」と言う集合\( P \)があったとする。 それを図で表すと、図1のようになる。この時、「2, 4」は集合\( P \)の要素であり、集合\( Q \)の要素でもある。 この時、集合\( P \)は集合\( Q \)の部分集合である。

fig1-2-1.png

図1. 1から5までの自然数の集合\(Q\)と1から5までの自然数の中で偶数であるものの集合\( P \)



部分集合の表記方法

 次は文字式で部分集合を考えてみよう。 図2のように集合\( B \)の部分集合\( A \)と、部分集合\( A \)の要素\( x \)があったとする。 この時、以下のことが成り立つ。
\( x \in A \) ならば \( x \in B \)

となる。これを言い換えると「\(x\)は\(A\)の要素である時、\( x \)は\( B \)の要素である」と言うことである。 この時、集合\( A \)と集合\( B \)の関係は以下のように示すことができる。 \begin{eqnarray} A \subset B \end{eqnarray} この読み方は、「\(A\)は\(B\)に含まれる」と読む。(\( \subset \)に実は特別な読み方はないのである。) ちなみ、\( A \subset B \)と書こうが、\( B \supset A \)と書こうが意味は変わることはない。 丸い方に部分集合が示されていれば良いのである。

fig1-2-2.png

図2. 集合Bに含まれる集合である集合A

集合\( A \)は自分自身の部分集合でもある。つまり、\( A \subset A \)である。 また、集合\( A \)と集合\( B \)の要素が完全に一致している時、\( A \)と\( B \)は等しいといい。 \begin{eqnarray} A = B \end{eqnarray} と表される。

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