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 集合


 集合とは、範囲がはっきりとしたものの集まりのことを言う。 例えば、「ものすごく大きい数」と言ったら100なのか、1000なのか全くわからず、どんな集合かわからない。 「1から10まで自然数で奇数の集まり」といったらはっきりと決まり、「1, 3, 5, 7, 9」とわかる。 この時、「1, 3, 5, 7, 9」の1つ1つの数字は、「1から10まで自然数で奇数の集まり」という集合の要素と呼ぶ。
 まずは図を使ってわかりやすくしようと思う。 集合の要素だけを円で囲ってみる。 「1から10まで自然数で奇数の集まり」と言う集合を\( P \)とすると図1のように表される(図1)。 この時、「1, 3, 5, 7, 9」は集合の要素として円で囲われている。 この円で囲われた要素は集合\( P \)に属すると言う。

fig1-3-1.png

図1 1から10までの自然数で奇数である数の集合


集合に属するか属さないかの表記方法

文字式を使って、もっと一般的な場合を使って考えてみる。 図2のように集合\( A \)があって、その要素\( x \)と集合\( A \)の要素でない\( y \)があったとする。 \( x \)は集合\( A \)に属する。この時、\( x\)と\( A \)と以下のように表される。 \begin{eqnarray} x \in A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} この時、\( \in \)の特別な読み方はなく、式(1)は単純に「\(x\)は\( A \)に属する」または、「\(x\)は\( A \)の要素」と呼ばれる。 では、\(y\)はどのように表記されるのであろうか?\( y \)は集合\(A\)の要素でないので、 \begin{eqnarray} y \notin A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} と表される。この読み方は、「\(y\)は\( A \)に属さない」または、「\(y\)は\( A \)の要素でない」である。

fig1-1-2.png

図2 集合Aの要素\(x\)と集合Aの要素でない\(y\)


要素を書き並べて表記する方法

 文字式で表記できれば簡単だが、図1の場合のように要素をすべて書き並べた方がわかりやすい時がある。 では、再び図1に戻って、「1から10まで自然数で奇数の集まり」を書き並べて表してみようと思う。 この場合は以下のように表す。 \begin{eqnarray} A = \left\{ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \right\}\ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} 「1から10まで自然数で奇数の集まり」という集合の要素は5個しかなく表記は式(3)のように簡単である。 このような単純な場合ではなく、もし、要素の個数が多い場合は「\( \cdots \)」で表すことになる。 例えば、「3の倍数」と言えば無限個の要素が存在するので、書き下すのは不可能である。よって、 \begin{eqnarray} \left\{ 3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15, \cdots \right\} \end{eqnarray} と表すのである。もし、終わりの数字が分かっているような場合は「\( \cdots \)」の後に最後の数字を書く。 例えば、「100以下の自然数で3の倍数」であった場合は \begin{eqnarray} \left\{ 3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15, \cdots,\ 99 \right\} \end{eqnarray} となるのである。

要素の満たす条件を示して表す方法

 集合を表す時、要素の条件を式の中で示すことができる。 例えば、「24の正の約数」と言う集合\( A \)の条件を満たす要素\( x \)は以下のように表される。

\(A = \) { \(x\ |\ x\)は24の正の約数} \(\ \ \ \ \ \ \ \ \) (4)

このように括弧でくくり、縦棒の後ろにその条件を記せば良いのである。

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