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光学的深さ

よくある波長の光が大気を通り抜ける時に、どの程度弱められてしまうのか?ということを表現するために「光学的深さ」が用いられる。 「光学的厚さ」と「光学的深さ」を同一のものとして説明していることもあるが、厳密には異なる。 このページでは光学的深さについて説明した後に、光学的深さと光学的厚さの違いについて簡単に述べる。 また、ここでは大気における光学的深さについて説明する。

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図1. 薄い層を通過する光(電磁波)

 図1のように幅\( dx \)の薄い層に強度\( I(x) \)の光(電磁波)が入射する場合を考える。 この層では光が散乱と吸収によって\( dI_{scat}\)、\( dI_{abs}\)だけ弱められる。 すると、層から出た光の強度\( I(x+dx) \)は以下のように表すことができる。 \begin{eqnarray} I(x+dx) = I(x) - dI_{abs} - dI_{scat} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} ここで、\( dI_{abs} \)と\( dI_{scat} \)は層の中にある大気の数密度\( n \)に比例すると考えられている。 従って、大気の固有な性質である吸収断面積\( \sigma_{abs} \)と散乱断面積\( \sigma_{scat} \)を使うことで、 \begin{eqnarray} dI_{abs} &=& n \sigma_{abs} I(x) dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ dI_{scat} &=& n \sigma_{scat} I(x) dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} と表すことができる。ここで、吸収断面積と散乱断面積については詳しくは説明しないが、その次元は\( \mathrm{m}^2 \mathrm{molecule}^{-1} \)である。 式(2)、式(3)を式(1)に代入すると、 \begin{eqnarray} dI = - dI_{abs} - dI_{scat} = I(x-dx) - I(x) = - n (\sigma_{abs} + \sigma_{scat}) I(x) dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} となる。これを変形分離すると、 \begin{eqnarray} \frac{dI}{dx} = - n (\sigma_{abs} + \sigma_{scat}) I(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} となり、これを積分するとことで、 \begin{eqnarray} I(x) = I_0 \exp \left\{ - n (\sigma_{abs} + \sigma_{scat} ) x \right\}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} を得る。 このようにある層に入射した光は吸収と散乱を受けて指数関数的に減少するのである。 ここで、 \begin{eqnarray} \tau = - n (\sigma_{abs} + \sigma_{scat} ) x = \frac{\ln I_0}{\ln I(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray} が光学的深さと定義されているのである。

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図2. 斜めに薄い層を通過する光(電磁波)


光学的深さと光学的厚さの違い
 以上で説明したものが光学的深さである。 では光学的厚みとはなんだろうか? 上で説明した光学的深さとは層に対して垂直に侵入した場合のことである。 「光学的厚み」とは任意の光路での「光学的深さ」のことを意味する。 つまり、図2のように斜めに光が入射した場合は層の内部の距離は\( L /\cos \theta \)となり、 光学的厚みは\( \tau / \cos \theta \)となるのである。 ここで、\( \tau = - n (\sigma_{abs} + \sigma_{scat} ) L \)である。 斜めに入射した場合は当たり前ではあるが、層内で長い距離を伝搬しなくてはならないので、減衰も大きくなる。

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