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レンズの公式(凸レンズ)


 凸レンズはその焦点より遠くの物体を置くと、レンズの反対側に倒立の実像ができるのであった。 物体の位置を動かすと、結像される位置が変わるだけでなく像の大きさも変わる。 この像の大きさや結像する位置はレンズの公式によって表される。 このページでは、レンズの法則の導出方法について説明する。

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図1. レンズの公式

 この図を使ってレンズの中心(主点)からロウソクまでの距離\( a \)と、主点からの像までの距離\( b\)と主点から焦点までの距離\( F\)の関係は、緑の三角形と赤の三角形が相似形であることから、 \begin{eqnarray} OP : ST = a : b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} を導ける。次に、オレンジの三角形とピンクの三角形が相似形であることから、 \begin{eqnarray} Rf : Sf = QR: ST = F : b-F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} である。 図より\( OP = QR \)であるので、\( a:b = F:b-F \)であることがわかる。 つまり、 \begin{eqnarray} bF = a(b-F) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} ということである。この方程式(3)を解くことで、レンズの公式 \begin{eqnarray} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} を導くことができる。 また、像の大きさが実際のロウソクの何倍になるかを示す倍率\( m \)は、緑の三角形と赤の三角形が相似であることから \begin{eqnarray} m = \frac{SR}{PR} = \frac{b}{a} = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と表される。 ちなみに倍率\( m=1 \)になる位置は\( a = b \)である。 これをレンズの公式(4)に代入することで、 \begin{eqnarray} a = 2F \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray} となる。つまり、焦点距離の2倍に置かれた物体はその大きさと同じ大きさの像が作られる。 もし、\(2F\)より遠くに物体を置いた場合、倍率\( m \)は1より小さくなってします。 つまり、物体がレンズの中心から焦点までの距離よりも遠く、焦点距離の2倍より近くに置かれた場合、物体よりも大きな像が作られる。 また、焦点距離の2倍以上の距離の置かれた物体は、その物体よりも小さな像が作られるのである。 このようにレンズの公式の求め方は幾何学を使って比較的簡単に導けるのである。

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