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無限に長い線上(軸対象)に分布する電荷が作る電場

 無限に長い直線上に一様に分布した電荷が作る電場の求め方を考える。 この電荷は線密度\( \lambda \)で分布しているとする。 この場合、直線に沿った方向の電場は、電荷が対称(軸対称)に分布しているため打ち消しあって消える。

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図1. 無限に長い線上(軸対象)に分布する電荷とその電荷が作る電場

つまり、この電荷が作る電場は図1の断面図のようになる。 ではガウスの法則を使ってこの電場を求める。 ガウスの法則で電場を計算するためには、まずは電荷を内部に含んだ閉曲面を考えなくてはならない。 ここでは、図1の右図のような高さ\( L \)、底辺の半径が\( r\)の円柱の閉曲面を考える。 ガウスの法則は、 \begin{eqnarray} \iint_S {\bf E} \cdot d{\bf A} = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} である。ここで、\( Q_{in} \)は閉曲面内部に存在する電荷である。 右辺は電場が垂直に貫く閉曲面の表面積と電場の掛け算である。 つまり、円柱の上面と下面は計算の項は0になる。 これは面の法線ベクトルと電場ベクトルが直交し、内積が0になるためであるからである。 このことから式(1)は、 \begin{eqnarray} 2\pi r L E = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} となるのである。 電荷は線密度\( \lambda \)で存在することから、閉曲面内部の電荷\( Q_{in} \)は、 \begin{eqnarray} Q_{in} = \lambda L \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} と表される。 式(3)を式(2)に代入することで、 \begin{eqnarray} E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} を得るのである。

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