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ガウスの法則の微分系

 ガウスの法則とは、閉曲面を貫く電気力線の正味の本数は、閉曲面内部に含む電荷\(Q\)を使って\( Q/\epsilon_0 \)と表される。 これを式にすると、 \begin{eqnarray} \iint_S {\bf E} \cdot d{\bf A} = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} と表すことができる。 右辺は閉曲面\( S \)上の微小平面\( dA \)に垂直な電場を閉曲面全体で積分すると電気力線の本数となるのである。 どうしてこのように表すことができるのかは、曲面を貫く電気力線束のページを参照して欲しい。 また、\( Q_{in} \)は閉曲面\( S \)内部に含まれる電荷の総数である。

 次に式(1)の左辺の面積分をガウスの定理で体積分に変換する。 (ガウスの定理はガウスの法則とは異なることに注意する。) ちなみにガウスの定理は、 \begin{eqnarray} \iint_S {\bf E} \cdot d{\bf A} = \iiint_V \nabla \cdot {\bf E}\ dV \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} と表される。 ここで、式(1)の右辺の電荷\( Q_{in} \)について考える。 電荷は電荷密度を体積分したものとして表されるので、電荷密度を\( \rho \)とすると、 \begin{eqnarray} Q_{in} = \iiint_V \rho \ dV \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} となるのである。ここでまでで表した、式(1), (2), (3)の関係を使うことで、ガウスの法則の微分系である \begin{eqnarray} \nabla \cdot {\bf E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} を導くことができるのである。

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