トップ > 電磁気学 > 電荷が連続的に分布している場合の電場

電荷が連続的に分布している場合の電場

 点\( {\bf r} = (x,\ y,\ z) \)における電荷の密度が\( \rho(x,\ y,\ z) \)である場合を考える。 この時、点\( {\bf r}' = (x',\ y',\ z') \)の近傍にある微小体積\( \Delta x' \Delta y' \Delta z' \)が持つ電気量は、密度と体積をかけることで簡単に、 \begin{eqnarray} \rho(x',\ y',\ z') \Delta x' \Delta y' \Delta z' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} となる。これは、微小体積内に\( \rho(x',\ y',\ z') \Delta x' \Delta y' \Delta z' \)の電荷が含まれていることを示している。 すると、この微小体積内にある電荷は、点\( {\bf r} = (x,\ y,\ z) \)においても電場を作る。 微小体積をほぼ点とすることで、点\( {\bf r}\)に微小体積が作る電場\( \Delta {\bf E}({\bf r}) \)は、1つの電荷が作る電場と同じように求めることができる。 つまり、 \begin{eqnarray} \Delta {\bf E}({\bf r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\rho(x',\ y',\ z') \Delta x' \Delta y' \Delta z' ({\bf r} - {\bf r}')}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{3/2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} と求めることができるのである。 これは微小体積から受ける電場であって、一様に分布している電荷が点\( {\bf r}\)に作る電場を求めるためには、微小空間の電荷を全て足し合わせて、\( \Delta x' \Delta y' \Delta z' \rightarrow 0 \)の極限を取る必要がある。 すると、微小区間の電荷の足し合わせは体積分で表すことができて、一様に分布している電荷が点\( {\bf r}\)に作る電場\( {\bf E}({\bf r}) \)は、 \begin{eqnarray} {\bf E}({\bf r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int dx' \int dy' \int dz' \frac{\rho(x',\ y',\ z') ({\bf r} - {\bf r}')}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{3/2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} と表すことができるのである。

広告