定積比熱の導出方法

カテゴリー：熱力学

定積比熱とは物体の体積を一定に保った状態で単位質量あたりの物体の温度を1℃上昇させるのに必要な熱量のことである。

物体の内部エネルギーは温度と体積の関数で\( U(T,\ V) \)と表される。もし、体積を一定に保ち温度上昇をした際の物体の内部エネルギーは\( U(T+\Delta T,\ V) \)となる。この変化量は、\( \Delta T \rightarrow 0 \)の極限で

\begin{eqnarray} \lim_{\Delta T \rightarrow 0} \frac{U(T+\Delta T,\ V) - U(T,\ V)}{\Delta T} = \frac{\partial U(T,\ V)}{\partial T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

で表される。式(1)の右辺は体積一定で内部エネルギーを温度で偏微分する項であるので、

\begin{eqnarray} \frac{\partial U(T,\ V)}{\partial T} = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

と表すことにする。また、式(1)の左辺は内部エネルギーの上昇量を\( \Delta U \)と置くことで

\begin{eqnarray} \lim_{\Delta T \rightarrow 0} \frac{U(T+\Delta T,\ V) - U(T,\ V)}{\Delta T} = \frac{ \Delta U}{\Delta T} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}

と書き換えることができる。よって、式(1)は

\begin{eqnarray} \Delta U = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V \Delta T \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}

となる。この式は体積一定で温度のみを変化させたときの内部エネルギーの変化を表した式である。

　次に、内部エネルギーの微小変化を\( \Delta U \)、体積の微小変化を\( \Delta V \)とすると、物体に与えられる熱量\( \Delta Q \)は

と表すことができる。この式(5)の導出方法は熱力学第1法則の微分形式のページを参照して欲しい。

定積変化の場合、\( \Delta V = 0 \)となり、式(5)は式(4)を使うことで、

\begin{eqnarray} \Delta Q = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V \Delta T \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray}

となる。ここで、定積比熱の定義に戻ると、体積一定の条件で単位質量の物体の温度を1℃上げるのに必要な熱量が定積比熱\( C_V \)であるから

\begin{eqnarray} C_V = \left( \frac{\Delta Q}{\Delta T} \right)_V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray}

である。よって、定積比熱は、

\begin{eqnarray} C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray}

と書くことができるのである。