相関

カテゴリー：スペクトル解析

もし時間的に変化する関数、\( x,\ y\)があったとする。

このとき、\(x,\ y\)がどの程度相関しているかということを考えるときは、\(x,\ y\)の値を、図1のように\( x-y\)平面状にプロットしてみる。

図1.

もし、\( x,\ y\)に全く相関がない場合は、\( x-y\)平面状に一様に点が打たれる。

その反対に、\(x,\ y\)がかなり似た変化、つまり強い相関を持つときは、一直線状にその点は密集する。

また、完全に\(x,\ y\)の値が一致している場合、点は直線上に打たれることになり、その傾きは1となる。

さらに、\(x\)が増えたときに\(y\)が減って、\( x\)が減った時に、\(y\)が増えるという逆の変化をしている時、 傾きは-1となるのである。

この場合は反相関という。

このように\(x-y\)平面状に値を表示していけば、お互いにどの程度相関があるのかがわかる。

次に、相関とは式でどのように表されて行くのか見てみようと思う。

2つの関数の相関度は以下のように表される。

ここで、\( r_x \)はxに対する\(y\)の相関度、\(r_y \)は\(y\)に対する\(x\)の相関度である。

\(E\)はアンサンブル平均を意味する。

ここで、\(x\)と\(y\)を同じように扱うためには、

となる。この\(r\)の値が1に近ければ近いほど、\(x\)と\(y\)は相関があるという。

また、\(r\)の値が0に近ければ、\(x\)と\(y\)の相関は小さいということができる。

これは相関度と呼ばれる。

統計や信号処理などで使われる、自己相関関数というのは、自分自身とどの程度、時間的に相関があるのかを示す相関である。

つまり、自己相関とは\(x=y\)として、時間をずらして相関をとるのである。

自己相関については別のページで詳しく説明する。