連続の式

物質は突然湧き出したり消えたりしないということは直感的にわかると思う。これを数式で表したものが「連続の式」である。このページでは連続の式の導出方法について説明しようと思う。

体積\( V \)で表面\( S \)の閉曲面内にある粒子の総数\( N \)を考える。上で説明した様に、物質が保存する時、\( N \)は表面\( S \)を横切る正味の粒子の流速がある時のみに変化する。（ここで正味とは、「実質的な」といった意味であり、例えば出て行く量と入ってくる量が同じときは正味の量は0である。）粒子の流速はその速度を\( {\bf v} \)、密度を\( n \)とすると\( n {\bf v} \)である。従って

\begin{eqnarray} \frac{\partial N}{\partial t} = - \oint n{\bf v} \cdot d{\bf S} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

を得る。左辺は粒子の送料の時間変化で右辺は表面\( S \)を横切る流速の積分量である。表面と垂直な流速成分は表面を横切らないので、流速と\( {\bf S} \)との内積を取っている。また、出て行く流速が多い時積分量が正になり、粒子の総数は減るのでマイナスが付いているのである。式(1)の右辺はガウスの発散定理より以下のように変化できる。

\begin{eqnarray} - \oint n{\bf v} \cdot d{\bf S} = - \int_V \nabla \cdot (n {\bf v} ) dV \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

式(1)の左辺と合わせることで

\begin{eqnarray} \frac{\partial N}{\partial t} = - \int_V \nabla \cdot (n {\bf v} ) dV \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}

を得ることができる。この式は任意の体積で成り立つ必要があるので

\begin{eqnarray} \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n {\bf v} ) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}

を得るのである。この式が連続の式である。もし、化学反応などで物質の湧き出しが生じてしまった場合は右辺に加えることになる。