時間変化する磁場中の運動

もし、時間的に磁場が変化する場合にプラズマがどのような運動をするのかを見て行こうと思う。

まず初めに、初期電場はないものとする。電場も磁場も印加されていない場合は初期に与えられた速度のまま等速直線運動をする。（初期速度を持っていない場合は、静止している。）

もし、ここに磁場が印加された場合は、その磁場によってプラズマにローレンツ力がかかり、プラズマは磁場に垂直な面で円運動をする。このローレンツ力は常にプラズマの速度\( v \)に垂直にかかるので、磁場はプラズマに仕事をすることができず、プラズマにエネルギーを与えることはない。しかし、磁場が時間変化する場合は以下の電場が磁場によって作られる。

\begin{eqnarray} \nabla \times {\bf E} = - \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

この電場によってプラズマ粒子が加速されるのである。ここで、磁場に垂直な速度を\( {\bf v}_{\perp} = \frac{d {\bf l}}{dt} \)とする。 \( {\bf l} \)はプラズマ粒子の軌道に沿ってとった線素であり、プラズマは今、速度成分を磁場に垂直な成分しか持たないと仮定する。次に、プラズマ粒子の運動方程式を立てると

\begin{eqnarray} m \left( \frac{d {\bf v}}{dt} \right) = q \left( {\bf E} + {\bf v} \times {\bf B} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

となる。式(2)の左から\( {\bf v}_{\perp} \)の内積を取る。すると

\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m v_{\perp}^2 \right) = q {\bf E} \cdot {\bf v}_{\perp} = q {\bf E} \cdot \frac{d {\bf l}}{dt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}

を得る。ここで、速度ベクトルは磁場に垂直方向にしかなく、\( \left( {\bf v} \times {\bf B} \right) \cdot {\bf v}_{\perp} = 0\)となることに注意する。この式(3)は微小時間におけるエネルギーの変化量を示している。

プラズマの1周期のエネルギーの変化を求める場合には、1周期に渡ってこのエネルギー変化を積分してやれば良い。 1周期にわたるエネルギーの変化を\( \delta \left( \frac{1}{2}m v_{\perp}^2 \right) \)としてやると

\begin{eqnarray} \delta \left( \frac{1}{2}m v_{\perp}^2 \right) = \int^{2 \pi / \omega_c}_{0} q {\bf E} \cdot \frac{d {\bf l}}{dt} dt = \int^{2 \pi / \omega_c}_{0} q {\bf E} \cdot d{\bf l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}

を得ることができる。ここで、\( \omega_c \)はプラズマ粒子のサイクロトロン周波数である（c:cyclotron）。ここで、磁場の変化がサイクロトロン周波数から導かれる円運動1周の周期より充分遅ければ、プラズマはほぼ円運動をすると近似することができて、式(4)の左辺は円積分に置き換えることができて

\begin{eqnarray} \delta \left( \frac{1}{2}m v_{\perp}^2 \right) = \oint q {\bf E} \cdot d{\bf l}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray}

と書き換えることができる。さらに、ストークスの定理を使って、式(5)の線積分を面積分に書き換えることができる。

\begin{eqnarray} \delta \left( \frac{1}{2}m v_{\perp}^2 \right) &=& q \int \int_S \left( \nabla \times {\bf E} \right) \cdot d {\bf S} \\ &=& - q \int \int \dot{{\bf B}} \cdot d {\bf S} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray}

最後の変換では式(1)を使い、磁場の時間微分を\( \dot{{\bf B}} \)とした。この面積分の\( {\bf S} \)とはプラズマの円運動1周期で作る円の面積であり、その半径はラーモア半径\( r_L\)である。つまりその面積は\( \pi r_L^2 \)である。

また、プラズマは反磁性であるため、正電荷をもつイオンについては、\( {\bf B} \cdot d {\bf S} <0\)である。電子については\( {\bf B} \cdot d {\bf S} >0\)である。これらを加味すると、式(6)の積分を実行することができて

\begin{eqnarray} \delta \left( \frac{1}{2}m v_{\perp}^2 \right) &=& \pm q \dot{B} \pi r_L^2 = \pm q \pi \dot{B} \frac{v_{\perp}^2}{\omega_c} \frac{m}{\pm qB} \\ &=& \frac{\frac{1}{2}m v_{\perp}^2}{B} \left( \frac{2\pi \dot{B}}{\omega_c} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) \end{eqnarray}

となる。ここで、\( 2\pi/ \omega_c = T_c \)となる。（\(T_c\)はサイクロトロン周期で1周に要する時間）。つまり、\( \dot{B} T_c \)は1周期で変化する量である\( \delta\)を使って、\( \delta {B} \)とすることができる。よって、式(7)は

\begin{eqnarray} \delta \left( \mu B \right) = \mu \delta B \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8) \end{eqnarray}

とできる。ここで、\( \mu \)は磁気モーメントで

\begin{eqnarray} \mu = \frac{\frac{1}{2} mv_{\perp}^2}{B} \ \ \ \ \ \ \ \ (9) \end{eqnarray}

である。式(8)を少し考えると、磁場が時間的に変化する場合、磁気モーメントと磁場の掛け算の変化量は、磁気モーメントと磁場の変化量の掛け算で表されることを意味している。言い換えると、\( \mu B\)の1周期にわたる変化は\( \mu \delta B\)となり、磁場の変化だけで表されると言うことである。よって、磁気モーメントの変化はなく

\begin{eqnarray} \delta \mu = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10) \end{eqnarray}

である。

ここまでに示されたサイクロトロン周期に対して充分ゆっくり変化する磁場に対しては、\( \delta \mu = 0 \)を導ける。このことから、時間的に変化する磁場の中にいるプラズマ粒子には以下の2つの特徴があると言える。

サイクロトロン周期に対して充分ゆっくり変化する磁場中の磁気モーメントは保存する

磁気モーメントが保存するので、磁場が強くなった場合はプラズマ粒子はその速度を低下させる。反対に磁場が強くなるとプラズマ粒子はその速度を増加させるのである。この速度の変化に伴って、ラーモア半径も変化する。（速度が大きければラーモア半径は大きくなり、小さければ小さくなる）。このようにして、磁場の変化に伴って、速度とラーモア半径を変化させながらプラズマは磁場に垂直な運動エネルギーを失ったり獲得したりする。

サイクロトロン運動1回転で囲む磁束は常に一定

磁束\( \Phi\)は\( \Phi = BS \)で示される。このSはサイクロトロン運動1回転で囲む面積であるので、半径はラーモア半径である。つまり、以下のように磁束を表すことができる。

\begin{eqnarray} \Phi = BS = B \pi r_L^2 = B \pi \frac{v_{\perp}^2}{\omega_c^2} &=& \frac{2\pi m}{q^2} \frac{\frac{1}{2}mv_{\perp}^2}{B} \\ &=& \frac{2\pi m}{q^2} \mu \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11) \end{eqnarray}

よって、磁場の変化がサイクロトロン運動の周期よりも充分ゆっくりな場合はサイクロトロン運動の軌道に囲まれた磁束が一定になるのである。 \( \Phi = B \pi r_L^2 \)で表されるように、磁場が強くなる（磁束密度が大きくなる）とサイクロトロン運動の軌道に囲まれた軌道に囲まれた磁束を一定に保つためにラーモア半径を小さくなるのである。逆に磁場が弱くなると、ラーモア半径は大きくなる。

このように磁場が変化する中でのプラズマはドリフトをするのではなく、ラーモア半径を変化させ、それはサイクロトロン運動の軌道で囲まれた磁束を一定に保つように変化するのである。