ベクトルの微分

カテゴリー：物理数学

ベクトル\( {\bf A} \)が変数\( t \)の関数であるとき、ベクトル\( {\bf A} \)はベクトル関数と呼び、成分を書くと

\begin{equation} {\bf A}(t) = A_x (t) {\bf i} + A_y (t) {\bf j} + A_z (t) {\bf k} \end{equation}

となり、変数\( t \)での微分\( \dot{{\bf A}} \)は

\begin{equation} \dot{{\bf A}} = \frac{d {\bf A}}{dt} = \frac{d A_x (t)}{dt} {\bf i} + \frac{d A_y (t)}{dt} {\bf j} + \frac{d A_z (t)}{dt} {\bf k} \end{equation}

となる。また、高次の微分も同様に

\begin{equation} \ddot{{\bf A}} = \frac{d^2 {\bf A}}{dt^2} = \frac{d^2 A_x (t)}{d t^2} {\bf i} + \frac{d^2 A_y (t)}{d t^2} {\bf j} + \frac{d^2 A_z (t)}{d t^2} {\bf k} \end{equation}

と書くことができる。

実際の物理では運動する質点の速度、加速度を記述する際に用いられることが多い。例えば、運動する質点Pの位置ベクトルを

\begin{equation} {\bf r}(t) = x(t){\bf i} + y(t) {\bf j} + z(t) {\bf k} \end{equation}

とすると、質点Pの速度\( {\bf v} (t)\)は

\begin{equation} {\bf v}(t) = \dot{{\bf r}}(t) = \frac{d {\bf r} (t)}{dt} = \frac{d x(t)}{dt} {\bf i} + \frac{d y(t)}{dt} {\bf j} + \frac{d z(t)}{dt} {\bf k} \end{equation}

となる。同様に加速度ベクトル\( {\bf a}(t) \)は

\begin{equation} {\bf a}(t) = \dot{{\bf v}}(t) = \ddot{{\bf r}}(t) = \frac{d^2 x(t)}{dt^2} {\bf i} + \frac{d^2 y(t)}{dt^2} {\bf j} + \frac{d^2 z(t)}{dt^2} {\bf k} \end{equation}

となる。このように運動している（x, y, zが時間と共に変化する）質点の位置ベクトルは時間と共に変化するので、速度と加速度をベクトルの微分を用いて求めることができる。運動しない質点のベクトルは定ベクトルと言い、定ベクトルは微分すると0になるので、速度も加速度も持たない。

またスカラー関数\( \phi (t) \)とベクトル関数\( {\bf A},\ {\bf B} \)の積は以下の公式を使って計算すると便利である。

\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}(\phi {\bf A}) &=& \phi \frac{d {\bf A}}{dt} + \frac{d \phi}{dt} {\bf A} \\ \frac{d}{dt} ({\bf A} \cdot {\bf B}) &=& {\bf A} \cdot \frac{d {\bf B}}{dt} + \frac{d {\bf A}}{dt} {\bf B} \\ \frac{d}{dt} ( {\bf A} \times {\bf B} ) &=& {\bf A} \times \frac{d {\bf B}}{dt} + \frac{d {\bf A}}{dt} \times {\bf B} \end{eqnarray}