位置に依存する力：ばね

カテゴリー：力学

また、位置、速度、加速度には、互いに積分、微分の関係があった。

ここでは位置に依存して変わる力が加えられた物体の運動について取り扱う。

図1 なめらかな床に置かれた質点と質点につなげられたバネ

位置によって違う力が加えることができる物としてバネが有名である。

バネは大きく縮めるか引き伸ばすと、それだけ大きな力がかかる。

つまり、バネ定数を\( k \)とすると、釣り合いの位置からの変位\( x \)の位置で受ける力は\( kx \)で表される。

ここで、図1のようになめらかで摩擦がない床に置かれた質点にバネをつないだ場合を考える。

この時の運動方程式は

\begin{eqnarray} ma = - kx\ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

となる。この時、釣り合いの位置を\( x=0 \)として、右向きを正とした。

釣り合いの位置から右に質点が移動すると、バネは引き戻そうとして、左向きの力を受けるので、式(1)の右辺はマイナスになる。

左に移動すると、これと逆のことが起る。式(1)を書き直すと、

\begin{eqnarray} m\frac{d^2 x}{dt^2} = - kx\ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

となる。この２階同次微分方程式を解くと、

\begin{eqnarray} x = A \cos \omega t + B \cos \omega t\ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}

を得る。ここで\( \omega \)は角振動数または角周波数と呼ばれ、回転速度を表すスカラー量である。

\begin{equation} \omega = \frac{k}{m}\ \ \ \ \ \ \ (4) \end{equation}

で表される。

これらの式が意味するところは、ばねにつながれた質点は、釣り合いの位置から水平に少し移動させて離すと振動をするということである。

これは、初めに与えられた運動エネルギーがバネの位置エネルギーに変換され、バネが一番伸びきったところで位置エネルギーの最大値を取り、運動エネルギーは釣り合いの位置で最大値を取るのである。