補足：有理数と無理数

カテゴリー：数学A

ここでは有理数と無理数について簡単に説明しようと思う。有理数と無理数を区別するのは簡単で、

である。

　では、まず有理数から説明しようと思う。有理数は先ほども示したように、分数で表すことのできる数である。つまり、有理数を\( x\)とすると、

\begin{eqnarray} x = \frac{a}{b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

と表される。ここで、\(b\)は0ではなく、\(a\)と\(b\)は、互いに1以外の公約数を持たない（互いに素数）である。

簡単にいると、\( \frac{a}{b} \)はそれ以上約分することができないということである。式(1)で表される有理数は以下の3つの数が該当する。

①整数

整数は有理数である。つまり、1も100も24567もすべて有理数である。どのように分数で表されるのか少し疑問であろうが、答えは簡単で分母に1がくるのである。つまり、

\begin{eqnarray} \frac{1}{1},\ \ \ \ \frac{100}{1},\ \ \ \ \ \frac{24567}{1} \end{eqnarray}

と言ったように整数は分母が1の分数で表すことができ、かつその分数はそれ以上約分ができないので、有理数である。

ちなみにマイナス（負）の整数も上のように分数で表すことができるので、もちろん有理数である。

また、よく「0」は有理数かどうかという問題が多いが、0も\frac{0}{1}で表すことができるので、有理数である。（分母が0であってはいけないが、分子は0でもOK。）

②有限小数

　分数で表される数の一つとして、有限小数がある。有限小数とは「0.25」や「0.2」などのように、分数を少数に直した際に割り切れる数のことである。例えば、

\begin{align} \frac{1}{4} &= 0.25 \\ \frac{1}{5} &= 0.2 \end{align}

である。「0.3333\(\cdots\)」のように割り切れず数が永遠に続く少数は循環少数と呼ばれ、これもまた有理数ではあるが、有限小数ではない。

③循環小数

　循環少数とは先ほども少し触れたが、同じ数字が永遠と少数の位に続く数のことを言う。例えば、有名な循環少数に

\begin{eqnarray} \frac{1}{3} &=& 0.3333333333333 \cdots \\ \frac{1234}{9999} &=& 0.123412341234 \cdots \end{eqnarray}

がある。\( \frac{1}{3} \)の例だと、3がずっと続くし、\( \frac{1234}{9999} \)の例だと、1234がずっと続く。このように何らかの規則に従って少数がずっと続くものを循環少数といい、循環少数は有理数となる。

　これらの3つの数は有理数である。では、無理数はどのようなものになるのだろうか？

有理数以外と言われると簡単な気がするが、いくつか例を挙げてみようと思う。

　無理数は少数以下が、全く何の規則もなく並んでいる数字である。もっとも有名な無理数に円周率\( \pi \)がある。

\( \pi\)は

\begin{eqnarray} \pi = 3. 14159265358979323846 \cdots \end{eqnarray}

である。全く規則がわからない。というか円周率の少数の規則を明らかにできたら確実にフィールズ賞をもらえる。また、同様に、

\begin{eqnarray} \sqrt{2} = 1.4142136 \cdots \end{eqnarray}

も全く規則的ではない。このように、まったく規則的でない少数によって構成されている数字を無理数と呼ぶのである。

代表的な無理数に円周率、\( \sqrt{2} \)、\( \sqrt{3} \)、ネイピア数などがある。ここで、平方根がついているからと言ってすべてが無理数というわけではない。（\(\sqrt{4}=2\)である。）