空集合

カテゴリー：数学A

集合\( A \)と集合\( B \)という2つの集合があり、1つも共通する要素がない時、集合\( A \)と集合\( B \)の共通部分は空集合という。

空集合は\( \varnothing \)という記号で表される。

空集合を表す記号\( \varnothing \)はノルウェー語等で用いられるアルファベットに由来しているために、ギリシャ語の\( \phi \)（ファイ）とは異なる。 （よく、参考書等でファイと記述している事があるが、これは間違いである。）

ちなみに、ノルウェー北部にトロムソという街がある。

この街はノルウェー語で書くと、Tromsøとなる。

sの後ろに空集合の文字があることがわかる。

これを英語表記にするとTromsoeとなるわけで、読み方としては「ォエ」に近くなる。

しかし、実際にこの文字を固有名詞としてはあまり読まず、日本の場合では\( \varnothing \)を「空集合（くうしゅうごう）」と読むことが圧倒的に多い。

では集合の話に戻って、集合\( A \)と集合\( B \)に共通部分がない時、

と表される。

具体的な例を挙げて考えてみよう。

空集合は要素を持たないので、あり得ない設定であればなんでも空集合となる。

例えば、「100 mを0.1秒で走ることができる人間の人数」や「身長が30 mの人の人数」、「奇数と偶数の共通部分」などは全部空集合になるのである。

図1. 集合\( A \)と集合\( B \)。重なる部分が全くない。

ではここで、もう少し深く考えてみよう。

空集合は要素数が0であるので、何に0を足しても元の数字は変わらない。

それと同じように、共通要素がない集合である空集合も、すべての集合の部分集合の1つとして考える。

つまり、ある集合\( A \)を考えたとき、空集合は集合\( A \)の部分集合の1つになるわけである。

すなわち、
\begin{eqnarray} A \supset \varnothing \end{eqnarray}

なのである。