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レンズの公式(凸レンズ)

カテゴリー:実験物理学


凸レンズは、その焦点より遠くに物体を置くと、レンズの反対側に倒立の実像ができるという特徴がある。

物体の位置をどこにするかで、実像の位置や大きさが変わる。

この像の大きさや結像する位置はレンズの公式によって表される。

このページでは、レンズの法則の導出方法について説明する。


fig1-10-1-1.png
図1. レンズの公式


 

この図を使ってレンズの中心(主点)からロウソクまでの距離\( a \)と、主点から像までの距離\( b\)と主点から焦点までの距離\( F\)の関係は、緑の三角形と赤の三角形が相似形であることから、


\begin{eqnarray} OP : ST = a : b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}

を導ける。

次に、オレンジの三角形とピンクの三角形が相似形であることから、


\begin{eqnarray} Rf : Sf = QR: ST = F : b-F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}

である。

図より\( OP = QR \)であるので、\( a:b = F:b-F \)であることがわかる。

つまり、


\begin{eqnarray} bF = a(b-F) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}

ということである。

この方程式(3)を解くことで、レンズの公式


\begin{eqnarray} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}

を導くことができる。

また、像の大きさが実際のロウソクの何倍になるかを示す倍率\( m \)は、緑の三角形と赤の三角形が相似であることから


\begin{eqnarray} m = \frac{SR}{PR} = \frac{b}{a} = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray}

と表される。

ちなみに倍率\( m=1 \)になる位置は\( a = b \)である。

これをレンズの公式(4)に代入することで、


\begin{eqnarray} a = 2F \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray}

となる。

つまり、焦点距離の2倍に置かれた物体は、実物と同じ大きさの上下左右反対向きの実像が作られる。

もし、\(2F\)より遠くに物体を置いた場合は、倍率\( m \)が1より小さくなってしまう。

つまり、物体が焦点と焦点距離の2倍の間に置かれた物体は、実物よりも大きな上下左右反対向きの実像が作られる。

また、焦点距離の2倍より遠くに置かれた物体は、実物より小さな上下左右反対向きの実像が作られるのである。

つまり、物体をレンズに近づけていくと、実像はだんだん大きくなり、結像する位置が遠くなっていくのである。

そして、焦点距離の2倍の位置に置いた時だけ実物と同じ大きさの実像になる。

このようにレンズの公式は、幾何学を使って比較的簡単に導けるのである。

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