レンズの公式(凸レンズ)
カテゴリー:実験物理学
凸レンズは、その焦点より遠くに物体を置くと、レンズの反対側に倒立の実像ができるという特徴がある。
物体の位置をどこにするかで、実像の位置や大きさが変わる。
この像の大きさや結像する位置はレンズの公式によって表される。
このページでは、レンズの法則の導出方法について説明する。
図1. レンズの公式
この図を使ってレンズの中心(主点)からロウソクまでの距離\( a \)と、主点から像までの距離\( b\)と主点から焦点までの距離\( F\)の関係は、緑の三角形と赤の三角形が相似形であることから、
\begin{eqnarray} OP : ST = a : b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray}
を導ける。
次に、オレンジの三角形とピンクの三角形が相似形であることから、
\begin{eqnarray} Rf : Sf = QR: ST = F : b-F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray}
である。
図より\( OP = QR \)であるので、\( a:b = F:b-F \)であることがわかる。
つまり、
\begin{eqnarray} bF = a(b-F) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray}
ということである。
この方程式(3)を解くことで、レンズの公式
\begin{eqnarray} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray}
を導くことができる。
また、像の大きさが実際のロウソクの何倍になるかを示す倍率\( m \)は、緑の三角形と赤の三角形が相似であることから
\begin{eqnarray} m = \frac{SR}{PR} = \frac{b}{a} = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray}
と表される。
ちなみに倍率\( m=1 \)になる位置は\( a = b \)である。
これをレンズの公式(4)に代入することで、
\begin{eqnarray} a = 2F \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6) \end{eqnarray}
となる。
つまり、焦点距離の2倍に置かれた物体は、実物と同じ大きさの上下左右反対向きの実像が作られる。
もし、\(2F\)より遠くに物体を置いた場合は、倍率\( m \)が1より小さくなってしまう。
つまり、物体が焦点と焦点距離の2倍の間に置かれた物体は、実物よりも大きな上下左右反対向きの実像が作られる。
また、焦点距離の2倍より遠くに置かれた物体は、実物より小さな上下左右反対向きの実像が作られるのである。
つまり、物体をレンズに近づけていくと、実像はだんだん大きくなり、結像する位置が遠くなっていくのである。
そして、焦点距離の2倍の位置に置いた時だけ実物と同じ大きさの実像になる。
このようにレンズの公式は、幾何学を使って比較的簡単に導けるのである。