曲面を貫く電気力線束

カテゴリー：電磁気学

平面を貫く電気力線の数\( \Phi_E \)は、平板の法線ベクトルを\( {\bf n} \)、平板の面積を\( A \)として、\( {\bf A} = A {\bf n} \)と表すことで、 \begin{eqnarray} \Phi_E = {\bf E} \cdot {\bf A} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \end{eqnarray} と求めることができる。

では曲面を貫く電気力線の本数はどのように求めればいいのであろうか？

曲面の場合は、簡単に計算できるように平面と近似できるくらい細かく曲面を分割し、その分割された平面（微小平面）に1, 2, 3, \(\cdots \)と番号を付けていく。 \( i \)番目の平面の法線ベクトルを\( {\bf n}_i \)、そこでの電場を\( {\bf E}_i \)、分割された微小平面の面積を\( \Delta A_i \)とすると、\(i\) 番目の微小平面を貫く電気力線の本数\( \Delta \Phi_{E_i} \)は、 \begin{eqnarray} \Delta \Phi_{E_i} = {\bf E}_i \cdot \Delta A_i \ {\bf n}_i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{eqnarray} と表すことができるのである。 また、\( \Delta {\bf A}_i = \Delta A_i\ {\bf n}_i \)とすることで、 \begin{eqnarray} \Delta \Phi_{E_i} = {\bf E}_i \cdot \Delta {\bf A}_i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{eqnarray} と書き換えることができる。

この微小区間を集めることで曲面を貫く電気力線の数を表すことができる。 つまり曲面を貫く電気力線の本数\( \Phi_E \)は \begin{eqnarray} \Phi_E = \Delta \Phi_{E_1} + \Delta \Phi_{E_2} + \Delta \Phi_{E_3} + \cdots \Delta \Phi_{E_N} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \end{eqnarray} と求められる。この時、式(2)を成り立たせるため、\( \Delta A_i \)を完全な平板として取り扱うためには、\( N \rightarrow \infty \)の極限を取らなければならない。 つまり、\( \Delta A_i \rightarrow 0 \)となる。 これを踏まえて式(4)を書き直すと、 \begin{eqnarray} \Phi_E &=& \lim_{\Delta A_i \rightarrow 0,\ N \rightarrow \infty} \sum^{N}_{i=1}{\bf E}_i \cdot \Delta {\bf A}_i \\ &=& \int \int_S {\bf E}\cdot\ d{\bf A} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と面積分を使って表すことができるのである。 尚、曲面の表面積\( A \)は \begin{eqnarray} A = \lim_{\Delta A_i \rightarrow 0,\ N \rightarrow \infty} \sum^{N}_{i=1} \Delta A_i \ \int \int_S dA \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \end{eqnarray} と表される。